Номер 5.15, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.15. Изобразите множества точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим условиям:

1) $ |z|=5; $

2) $ |z| \leq 6; $

3) $ |z-(2+i)| < 3; $

4) $ 6 \leq |z-i| < 7. $

1) $|z| = 5$

Пусть комплексное число $\text{z}$ имеет вид $z = x + iy$. Модуль комплексного числа $|z|$ геометрически представляет собой расстояние от точки $(x, y)$ на комплексной плоскости до начала координат $(0, 0)$. Условие $|z| = 5$ означает, что расстояние от точки, изображающей число $\text{z}$, до начала координат равно 5. Множество всех таких точек образует окружность. Алгебраически, $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$, поэтому уравнение принимает вид $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$. Возведя обе части в квадрат, получаем уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 25$.

Ответ: Окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом 5.

2) $|z| \le 6$

Данное условие означает, что расстояние от точки $\text{z}$ на комплексной плоскости до начала координат не превышает 6. Это множество включает в себя все точки, лежащие как на самой окружности радиуса 6 с центром в начале координат, так и внутри нее. Такое множество называется замкнутым кругом. Алгебраически, из $|z| \le 6$ следует $\sqrt{x^2 + y^2} \le 6$. После возведения в квадрат получаем неравенство, описывающее круг: $x^2 + y^2 \le 36$.

Ответ: Замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом 6.

3) $|z - (2 + i)| \le 3$

Выражение $|z_1 - z_2|$ геометрически означает расстояние между точками $z_1$ и $z_2$ на комплексной плоскости. В данном случае, условие $|z - (2 + i)| \le 3$ означает, что расстояние от точки $\text{z}$ до точки, соответствующей комплексному числу $z_0 = 2 + i$, не превышает 3. Точка $z_0$ имеет координаты $(2, 1)$. Следовательно, искомое множество точек — это замкнутый круг с центром в точке $(2, 1)$ и радиусом 3. Алгебраически, пусть $z = x + iy$. Тогда $z - (2 + i) = (x - 2) + i(y - 1)$. Модуль этого выражения равен $|z - (2+i)| = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2}$. Неравенство принимает вид $\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} \le 3$, что после возведения в квадрат дает $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 \le 9$.

Ответ: Замкнутый круг с центром в точке $(2, 1)$ и радиусом 3.

4) $6 \le |z - i| \le 7$

Это двойное неравенство описывает множество точек $\text{z}$, расстояние от которых до точки, соответствующей числу $\text{i}$ (т.е. до точки $(0, 1)$), находится в пределах от 6 до 7 включительно. Неравенство $|z - i| \le 7$ задает замкнутый круг с центром в $(0, 1)$ и радиусом 7. Неравенство $|z - i| \ge 6$ задает область вне открытого круга с центром в $(0, 1)$ и радиусом 6 (т.е. все точки на окружности радиуса 6 и вне ее). Пересечение этих двух множеств представляет собой кольцо (аннулус), ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в точке $(0, 1)$. Радиус внутренней окружности равен 6, а внешней — 7. Поскольку неравенства нестрогие, обе граничные окружности принадлежат искомому множеству. Алгебраически: $6 \le \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} \le 7$. Возведение в квадрат всех частей неравенства дает $36 \le x^2 + (y - 1)^2 \le 49$.

Ответ: Кольцо с центром в точке $(0, 1)$, внутренним радиусом 6 и внешним радиусом 7. Границы кольца (окружности) включены в множество.