Номер 5.13, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.13. Найдите модули и аргументы данного комплексного числа и изобразите его на комплексной плоскости:

1) $z = 1 + i$;

2) $z = \sqrt{3} - i$;

3) $z = \sqrt{2}i$;

4) $z = 2$;

5) $z = -i$.

1) $z = -1 + i$

Данное комплексное число $z = -1 + i$ имеет действительную часть $x = -1$ и мнимую часть $y = 1$.

Модуль комплексного числа $|z|$ — это расстояние от начала координат до точки $(-1, 1)$, изображающей число на комплексной плоскости. Он вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

В нашем случае: $|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Аргумент комплексного числа $\phi = \text{Arg}(z)$ — это угол между положительным направлением действительной оси и вектором, идущим из начала координат к точке $(-1, 1)$. Он находится из системы уравнений:

$\cos\phi = \frac{x}{|z|} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$

$\sin\phi = \frac{y}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как действительная часть отрицательна ($x < 0$), а мнимая положительна ($y > 0$), точка $(-1, 1)$ лежит во второй координатной четверти. Главное значение аргумента, принадлежащее промежутку $(-\pi, \pi]$, равно $\arg(z) = \frac{3\pi}{4}$.

Множество всех аргументов (в соответствии с вопросом "аргументы") определяется формулой $\text{Arg}(z) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $\text{k}$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: модуль $|z| = \sqrt{2}$, аргументы $\text{Arg}(z) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ (главное значение $\arg(z) = \frac{3\pi}{4}$).

2) $z = \sqrt{3} - i$

Действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.

Модуль: $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Находим аргумент из системы: $\cos\phi = \frac{x}{|z|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\phi = \frac{y}{|z|} = \frac{-1}{2}$.

Так как $x > 0$ и $y < 0$, точка $(\sqrt{3}, -1)$ находится в четвертой четверти. Главное значение аргумента $\arg(z) = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: модуль $|z| = 2$, аргументы $\text{Arg}(z) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ (главное значение $\arg(z) = -\frac{\pi}{6}$).

3) $z = \sqrt{2}i$

Это чисто мнимое число. Действительная часть $x = 0$, мнимая часть $y = \sqrt{2}$.

Модуль: $|z| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2}$.

Точка $(0, \sqrt{2})$ лежит на положительной части мнимой оси. Главное значение аргумента $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: модуль $|z| = \sqrt{2}$, аргументы $\text{Arg}(z) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ (главное значение $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$).

4) $z = -2$

Это чисто действительное, отрицательное число. Действительная часть $x = -2$, мнимая часть $y = 0$.

Модуль: $|z| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$.

Точка $(-2, 0)$ лежит на отрицательной части действительной оси. Главное значение аргумента $\arg(z) = \pi$.

Ответ: модуль $|z| = 2$, аргументы $\text{Arg}(z) = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ (главное значение $\arg(z) = \pi$).

5) $z = -i$

Это чисто мнимое число. Действительная часть $x = 0$, мнимая часть $y = -1$.

Модуль: $|z| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$.

Точка $(0, -1)$ лежит на отрицательной части мнимой оси. Главное значение аргумента $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: модуль $|z| = 1$, аргументы $\text{Arg}(z) = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ (главное значение $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$).

Изображение данных комплексных чисел на комплексной плоскости (Re - действительная ось, Im - мнимая ось):