Номер 5.18, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.18. Постройте и опишите график уравнения $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0$.

Чтобы построить и описать график уравнения $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0$, необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Для этого применим метод выделения полного квадрата.

1. Сгруппируем слагаемые, содержащие $\text{x}$ и $\text{y}$:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + 1 = 0$

2. Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для выражения с $\text{x}$ нужно добавить и вычесть $(\frac{4}{2})^2 = 4$. Для выражения с $\text{y}$ нужно добавить и вычесть $(\frac{2}{2})^2 = 1$.

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 2y + 1) - 1 + 1 = 0$

3. Свернем полные квадраты и упростим уравнение:

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 4 - 1 + 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 4 = 0$

4. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$

Теперь уравнение представлено в каноническом виде.

Описание графика

Графиком данного уравнения является окружность. Сравнивая полученное уравнение $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$ с канонической формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, находим ее параметры:

- Координаты центра окружности: $(a, b) = (2, -1)$.

- Квадрат радиуса: $R^2 = 4$.

- Радиус окружности: $R = \sqrt{4} = 2$.

Построение графика

Для построения окружности на координатной плоскости необходимо:

1. Отметить центр окружности в точке $O(2, -1)$.

2. Из центра провести окружность радиусом 2. Для удобства можно отметить крайние точки окружности, отступив от центра на 2 единицы по горизонтали и вертикали:

- $(2+2, -1) = (4, -1)$

- $(2-2, -1) = (0, -1)$

- $(2, -1+2) = (2, 1)$

- $(2, -1-2) = (2, -3)$

3. Соединить точки плавной линией.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(2, -1)$ и радиусом $\text{2}$.