Номер 5.11, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.11. Докажите, что для комплексного числа $\text{z}$ выполняются следующие равенства:

1) $Re(z) = \frac{z+\bar{z}}{2}$;

2) $Im(z) = \frac{z-\bar{z}}{2i}$.

1)

Для доказательства представим комплексное число $\text{z}$ в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x = \text{Re}(z)$ — действительная часть, а $y = \text{Im}(z)$ — мнимая часть.

Комплексно-сопряженное к $\text{z}$ число $\bar{z}$ имеет вид: $\bar{z} = x - iy$.

Подставим эти выражения в правую часть доказываемого равенства:

$\frac{z + \bar{z}}{2} = \frac{(x + iy) + (x - iy)}{2}$

Выполним сложение в числителе:

$(x + iy) + (x - iy) = x + iy + x - iy = 2x$

Тогда вся дробь равна:

$\frac{2x}{2} = x$

Так как по определению $x = \text{Re}(z)$, мы доказали, что $\text{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}$.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Воспользуемся теми же представлениями для $\text{z}$ и $\bar{z}$, что и в первом пункте: $z = x + iy$ и $\bar{z} = x - iy$.

Подставим их в правую часть второго равенства:

$\frac{z - \bar{z}}{2i} = \frac{(x + iy) - (x - iy)}{2i}$

Выполним вычитание в числителе:

$(x + iy) - (x - iy) = x + iy - x + iy = 2iy$

Тогда вся дробь равна:

$\frac{2iy}{2i} = y$

Так как по определению $y = \text{Im}(z)$, мы доказали, что $\text{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}$.

Ответ: Равенство доказано.