Номер 5.5, страница 158, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.5. Для чисел $z = 3 + 4i$ и $w = 5 - 12i$ найдите:

1) $|z|$;

2) $|w|$;

3) $|\bar{z}|$;

4) $|\bar{w}|$.

Сравнив найденные значения, сформулируйте утверждение о модулях взаимно сопряженных комплексных чисел.

1) |z|

Модуль комплексного числа $z = a + bi$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Для числа $z = 3 + 4i$ действительная часть $a = 3$, а мнимая часть $b = 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$|z| = |3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.

2) |w|

Для числа $w = 5 - 12i$ действительная часть $a = 5$, а мнимая часть $b = -12$.

Вычислим модуль числа $\text{w}$:

$|w| = |5 - 12i| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Ответ: 13.

3) $|\bar{z}|$

Сначала найдем число $\bar{z}$, комплексно-сопряженное числу $z = 3 + 4i$. Для этого нужно изменить знак перед мнимой частью на противоположный.

$\bar{z} = 3 - 4i$.

Теперь вычислим модуль этого числа. Здесь $a = 3$, $b = -4$.

$|\bar{z}| = |3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.

4) $|\bar{w}|$

Найдем число $\bar{w}$, комплексно-сопряженное числу $w = 5 - 12i$.

$\bar{w} = 5 + 12i$.

Вычислим модуль этого числа. Здесь $a = 5$, $b = 12$.

$|\bar{w}| = |5 + 12i| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Ответ: 13.

Сравним найденные значения.

Из пунктов 1) и 3) мы получили, что $|z| = 5$ и $|\bar{z}| = 5$. Следовательно, $|z| = |\bar{z}|$.

Из пунктов 2) и 4) мы получили, что $|w| = 13$ и $|\bar{w}| = 13$. Следовательно, $|w| = |\bar{w}|$.

На основе этих наблюдений можно сформулировать следующее утверждение: модули взаимно сопряженных комплексных чисел равны.

Это свойство можно доказать в общем виде. Для любого комплексного числа $z = a + bi$ сопряженное ему число равно $\bar{z} = a - bi$. Их модули вычисляются следующим образом:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

$|\bar{z}| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

Таким образом, для любого комплексного числа $\text{z}$ всегда верно равенство $|z| = |\bar{z}|$.