Номер 5.3, страница 158, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.3. Даны числа $z = 2 + 3i$ и $w = 6 - 4i$. Найдите число:

1) $\operatorname{Re}(z), \operatorname{Im}(w), \bar{z}$,

2) $-\bar{z}, \operatorname{Re}(\bar{z}), \operatorname{Im}(z)$;

3) $\operatorname{Re}(\bar{w})-\bar{w}, \bar{w}$.

Даны комплексные числа $z = 2 + 3i$ и $w = 6 - 4i$.

Действительная часть комплексного числа $z = a + bi$ (обозначается $Re(z)$) равна $\text{a}$. Для $z = 2 + 3i$, действительная часть $Re(z) = 2$.

Мнимая часть комплексного числа $w = a + bi$ (обозначается $Im(w)$) равна $\text{b}$. Для $w = 6 - 4i$, мнимая часть $Im(w) = -4$.

Комплексно-сопряженное число $\bar{z}$ к числу $z = a + bi$ равно $a - bi$. Для $z = 2 + 3i$, комплексно-сопряженное число равно $\bar{z} = 2 - 3i$.

Ответ: $Re(z)=2$, $Im(w)=-4$, $\bar{z} = 2 - 3i$.

Используем исходные данные и результаты из предыдущего пункта.

В пункте 1 мы нашли, что $\bar{z} = 2 - 3i$. Число, противоположное к $\bar{z}$, равно $-\bar{z} = -(2 - 3i) = -2 + 3i$.

Действительная часть числа $\bar{z} = 2 - 3i$ равна $Re(\bar{z}) = 2$. Стоит отметить, что $Re(z) = Re(\bar{z})$.

Мнимая часть исходного числа $z = 2 + 3i$ равна $Im(z) = 3$.

Ответ: $-\bar{z}=-2+3i$, $Re(\bar{z})=2$, $Im(z)=3$.

Сначала найдем $\bar{w}$ — комплексно-сопряженное число к $w = 6 - 4i$. Для этого нужно изменить знак у мнимой части: $\bar{w} = 6 + 4i$.

Теперь найдем выражение $Re(\bar{w}) - \bar{w}$. Действительная часть числа $\bar{w} = 6+4i$ равна $Re(\bar{w})=6$.

Подставляем найденные значения в выражение: $Re(\bar{w}) - \bar{w} = 6 - (6 + 4i) = 6 - 6 - 4i = -4i$.

Ответ: $Re(\bar{w}) - \bar{w} = -4i$, $\bar{w} = 6 + 4i$.