Номер 4.40, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.40*. Решите иррациональное неравенство, содержащее модуль:

1) $ \sqrt{3 - |x|} \ge x; $

2) $ \sqrt{4x + 5} > |x - 1|; $

3) $ \sqrt[3]{x^2 - 4|x|} > \sqrt[3]{3 - 2x}. $

1) $\sqrt{3-|x|} \geqslant x$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \geqslant g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

$\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \geqslant 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} g(x) \geqslant 0 \\ f(x) \geqslant (g(x))^2 \end{cases}$

В данном случае $f(x) = 3 - |x|$ и $g(x) = x$.

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x < 0 \\ 3 - |x| \geqslant 0 \end{cases}$

Так как $x < 0$, то $|x| = -x$. Второе неравенство принимает вид $3 - (-x) \geqslant 0$, что равносильно $3 + x \geqslant 0$, или $x \geqslant -3$.

Объединяя условия $x < 0$ и $x \geqslant -3$, получаем решение для первой системы: $x \in [-3; 0)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x \geqslant 0 \\ 3 - |x| \geqslant x^2 \end{cases}$

Так как $x \geqslant 0$, то $|x| = x$. Второе неравенство принимает вид $3 - x \geqslant x^2$, что равносильно $x^2 + x - 3 \leqslant 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4(1)(-3) = 13$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Решением неравенства $x^2 + x - 3 \leqslant 0$ является отрезок $[\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}]$.

Учитывая условие $x \geqslant 0$, получаем решение для второй системы: $x \in [0; \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}]$.

Общим решением исходного неравенства является объединение решений двух систем:

$[-3; 0) \cup [0; \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}] = [-3; \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}]$.

Ответ: $[-3; \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}]$.

2) $\sqrt{4x+5} > |x-1|$

Правая часть неравенства $|x-1|$ неотрицательна. Следовательно, неравенство равносильно системе, получаемой возведением обеих частей в квадрат, с учетом области допустимых значений (ОДЗ) подкоренного выражения.

$\begin{cases} 4x+5 \geqslant 0 \\ (\sqrt{4x+5})^2 > (|x-1|)^2 \end{cases}$

Решим первое неравенство (ОДЗ):

$4x \geqslant -5 \implies x \geqslant -\frac{5}{4}$.

Решим второе неравенство:

$4x+5 > (x-1)^2$

$4x+5 > x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 6x - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 4 = 0$: $D = (-6)^2 - 4(1)(-4) = 36 + 16 = 52$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 3 \pm \sqrt{13}$.

Решением квадратичного неравенства является интервал $(3 - \sqrt{13}; 3 + \sqrt{13})$.

Найдем пересечение полученного интервала с ОДЗ $x \geqslant -\frac{5}{4}$.

Оценим значение $3 - \sqrt{13}$. Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $-1 < 3 - \sqrt{13} < 0$.

Поскольку $-\frac{5}{4} = -1.25$, то $3 - \sqrt{13} > -1.25$.

Следовательно, весь интервал $(3 - \sqrt{13}; 3 + \sqrt{13})$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(3 - \sqrt{13}; 3 + \sqrt{13})$.

3) $\sqrt[3]{x^2-4|x|} > \sqrt[3]{|3-2x|}$

Функция $y = \sqrt[3]{t}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, поэтому данное неравенство равносильно неравенству для подкоренных выражений:

$x^2 - 4|x| > |3 - 2x|$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая в зависимости от знака выражений под ними. Критические точки: $x=0$ и $x=1.5$.

Случай 1: $x \leqslant 0$.

Тогда $|x| = -x$ и $|3-2x|=3-2x$.

$x^2 - 4(-x) > 3-2x$

$x^2 + 6x - 3 > 0$.

Корни уравнения $x^2 + 6x - 3 = 0$: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36+12}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.

Решение неравенства: $(-\infty; -3 - 2\sqrt{3}) \cup (-3 + 2\sqrt{3}; +\infty)$.

С учетом условия $x \leqslant 0$ (и того, что $-3 + 2\sqrt{3} > 0$), получаем: $x \in (-\infty; -3 - 2\sqrt{3})$.

Случай 2: $0 < x \leqslant 1.5$.

Тогда $|x| = x$ и $|3-2x|=3-2x$.

$x^2 - 4x > 3-2x$

$x^2 - 2x - 3 > 0$

$(x-3)(x+1) > 0$.

Решение: $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Пересечение с интервалом $(0; 1.5]$ дает пустое множество.

Случай 3: $x > 1.5$.

Тогда $|x| = x$ и $|3-2x|=-(3-2x) = 2x-3$.

$x^2 - 4x > 2x-3$

$x^2 - 6x + 3 > 0$.

Корни уравнения $x^2 - 6x + 3 = 0$: $x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36-12}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$.

Решение неравенства: $(-\infty; 3 - \sqrt{6}) \cup (3 + \sqrt{6}; +\infty)$.

С учетом условия $x > 1.5$ (и того, что $3 - \sqrt{6} \approx 0.55 < 1.5$), получаем: $x \in (3 + \sqrt{6}; +\infty)$.

Объединяя решения всех случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(-\infty; -3 - 2\sqrt{3}) \cup (3 + \sqrt{6}; +\infty)$.