Номер 4.37, страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.37. Решите иррациональное неравенство, используя схему, приведенную на рисунке 4.8.

1) $\sqrt{3x-x^2} < 4-x$;

2) $\sqrt{x+61} < x+5$;

3) $\sqrt{x^2-3x+2} < 5-x$.

$\sqrt[2k]{f(x)} < \varphi(x)$

$\Leftrightarrow$

$\begin{cases} \varphi(x) > 0, \\ f(x) \ge 0, \\ f(x) < \varphi^{2k}(x) \end{cases}$

Рис. 4.8

1) $\sqrt{3x-x^2} < 4-x$

Согласно схеме на рисунке 4.8, данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \phi(x)$ равносильно системе из трех неравенств. В нашем случае $f(x) = 3x-x^2$ и $\phi(x) = 4-x$.

Система неравенств выглядит следующим образом:

$ \begin{cases} 4-x > 0 \\ 3x-x^2 \ge 0 \\ 3x-x^2 < (4-x)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. $4-x > 0 \implies x < 4$.

2. $3x-x^2 \ge 0 \implies x(3-x) \ge 0$. Корнями соответствующего уравнения $x(3-x)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=3$. Так как это парабола с ветвями вниз, неравенство выполняется между корнями. Следовательно, $0 \le x \le 3$.

3. $3x-x^2 < (4-x)^2 \implies 3x-x^2 < 16 - 8x + x^2$. Перенесем все члены в правую часть: $0 < 2x^2 - 11x + 16$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 - 11x + 16$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 121 - 128 = -7$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D<0$) и старший коэффициент положителен ($a=2>0$), квадратный трехчлен $2x^2 - 11x + 16$ всегда положителен. Таким образом, это неравенство выполняется для всех действительных чисел $\text{x}$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств системы:

$ \begin{cases} x < 4 \\ x \in [0, 3] \\ x \in (-\infty, +\infty) \end{cases} $

Общим решением системы является отрезок $[0, 3]$.

Ответ: $x \in [0, 3]$.

2) $\sqrt{x+61} < x+5$

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \phi(x)$, где $f(x) = x+61$ и $\phi(x) = x+5$. Оно равносильно системе:

$ \begin{cases} x+5 > 0 \\ x+61 \ge 0 \\ x+61 < (x+5)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x+5 > 0 \implies x > -5$.

2. $x+61 \ge 0 \implies x \ge -61$.

3. $x+61 < (x+5)^2 \implies x+61 < x^2+10x+25 \implies 0 < x^2+9x-36$.

Найдем корни уравнения $x^2+9x-36=0$ с помощью теоремы Виета или дискриминанта.

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.

$x_1 = \frac{-9 - 15}{2} = -12$, $x_2 = \frac{-9 + 15}{2} = 3$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2+9x-36 > 0$ выполняется, когда $\text{x}$ находится вне интервала между корнями: $x < -12$ или $x > 3$.

Найдем пересечение решений:

$ \begin{cases} x > -5 \\ x \ge -61 \\ x \in (-\infty, -12) \cup (3, +\infty) \end{cases} $

Пересечение первых двух неравенств дает $x > -5$. Пересекая это с решением третьего неравенства, получаем $x \in (3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

3) $\sqrt{x^2-3x+2} < 5-x$

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \phi(x)$, где $f(x) = x^2-3x+2$ и $\phi(x) = 5-x$. Составляем равносильную систему:

$ \begin{cases} 5-x > 0 \\ x^2-3x+2 \ge 0 \\ x^2-3x+2 < (5-x)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $5-x > 0 \implies x < 5$.

2. $x^2-3x+2 \ge 0$. Корнями уравнения $x^2-3x+2=0$ являются $x_1=1$ и $x_2=2$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le 1$ или $x \ge 2$. То есть $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

3. $x^2-3x+2 < (5-x)^2 \implies x^2-3x+2 < 25-10x+x^2$.

Упрощаем: $-3x+2 < 25-10x \implies 7x < 23 \implies x < \frac{23}{7}$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:

$ \begin{cases} x < 5 \\ x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty) \\ x < \frac{23}{7} \end{cases} $

Так как $2 < \frac{23}{7} \approx 3.28 < 5$, пересечение первого и третьего неравенств дает $x < \frac{23}{7}$.

Найдем пересечение интервала $(-\infty, \frac{23}{7})$ с объединением $(-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

Пересечение с $(-\infty, 1]$ дает $(-\infty, 1]$.

Пересечение с $[2, +\infty)$ дает $[2, \frac{23}{7})$.

Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \frac{23}{7})$.