Номер 4.34, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.34. Решите неравенство:

1) $\sqrt[5]{x^2 - 4x} > \sqrt[5]{3 - 2x}$;

2) $\sqrt[8]{x^2 + 1} > x + 1$;

3) $\sqrt[3]{x^2 + 3x + 3} < \sqrt[3]{2x + 4}$.

1) Дано неравенство $\sqrt[5]{x^2 - 4x} > \sqrt[5]{3 - 2x}$. Поскольку функция $y = \sqrt[5]{t}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, данное неравенство равносильно неравенству для подкоренных выражений:

$x^2 - 4x > 3 - 2x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x + 2x - 3 > 0$

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями. Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

2) Дано неравенство $\sqrt[8]{x^2 + 1} > x + 1$. Выражение под корнем $x^2 + 1$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$, поэтому $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, левая часть неравенства определена для всех $\text{x}$ и всегда положительна: $\sqrt[8]{x^2 + 1} \ge \sqrt[8]{1} = 1$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части.

Случай 1: Правая часть отрицательна.

$x + 1 < 0 \implies x < -1$.

В этом случае левая часть неравенства ($\ge 1$) всегда больше правой (отрицательной). Следовательно, все $\text{x}$ из этого промежутка являются решениями.

Случай 2: Правая часть неотрицательна.

$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в восьмую степень, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[8]{x^2 + 1})^8 > (x + 1)^8$

$x^2 + 1 > (x + 1)^8$

Рассмотрим это неравенство на промежутке $x \ge -1$. При $x = 0$ неравенство принимает вид $1 > 1$, что неверно. При $x = -1$ неравенство принимает вид $(-1)^2 + 1 > (-1+1)^8 \implies 2 > 0$, что верно. Рассмотрим функции $f(x) = \sqrt[8]{x^2 + 1}$ и $g(x) = x + 1$ на промежутке $[-1, \infty)$. На интервале $(-1, 0)$ функция $f(x)$ убывает (ее производная $f'(x) = \frac{x}{4\sqrt[8]{(x^2+1)^7}}$ отрицательна), а функция $g(x)$ возрастает. Так как $f(-1) = \sqrt{2} > g(-1) = 0$ и $f(0) = 1 = g(0)$, то на всем интервале $[-1, 0)$ выполняется $f(x) > g(x)$. При $x > 0$ обе функции возрастают. Сравним их. Так как $f(0)=g(0)=1$, а при $x>0$ степень $\text{x}$ в $g(x)$ (равная 1) больше эффективной степени $\text{x}$ в $f(x)$ (которая близка к $2/8 = 1/4$), то $g(x)$ растет быстрее, и $g(x)>f(x)$ для всех $x>0$. Таким образом, при $x>0$ решений нет. Решением во втором случае является промежуток $[-1, 0)$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем $x \in (-\infty; -1) \cup [-1; 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

3) Дано неравенство $\sqrt[3]{x^2 + 3x + 3} < \sqrt[3]{2x + 4}$. Поскольку функция $y = \sqrt[3]{t}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, данное неравенство равносильно неравенству для подкоренных выражений:

$x^2 + 3x + 3 < 2x + 4$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 3x - 2x + 3 - 4 < 0$

$x^2 + x - 1 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 1 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Графиком функции $y = x^2 + x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны в интервале между корнями. Следовательно, решение неравенства: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$.