Номер 4.36, страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.36. Учитывая знаки обеих частей неравенства, с помощью схемы, приведенной на рис. 4.7, найдите решения иррационального неравенства:

1) $\sqrt{7-2x} > x-2$

2) $\sqrt{5-2x} > 6x-1$

3) $\sqrt{x^2} > x+1$

4) $\sqrt{(x+4)(x+3)} > 6-x$

$\sqrt[2k]{f(x)} > \varphi(x)$

$\begin{cases} \varphi(x) \ge 0, \\ f(x) > \varphi^{2k}(x) \end{cases} \quad \begin{cases} \varphi(x) < 0, \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$

Рис. 4.7

1) Решим неравенство $ \sqrt{7 - 2x} > x - 2 $. Воспользуемся схемой для решения иррациональных неравенств вида $ \sqrt{f(x)} > \varphi(x) $. Такое неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) $ \begin{cases} \varphi(x) \ge 0, \\ f(x) > (\varphi(x))^2 \end{cases} $ и б) $ \begin{cases} \varphi(x) < 0, \\ f(x) \ge 0 \end{cases} $

В нашем случае $ f(x) = 7 - 2x $ и $ \varphi(x) = x - 2 $.

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 7 - 2x > (x - 2)^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $ x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 $.

Решим второе неравенство:

$ 7 - 2x > x^2 - 4x + 4 $

$ 0 > x^2 - 2x - 3 $

$ x^2 - 2x - 3 < 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ x^2 - 2x - 3 = 0 $. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -1 $. Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями: $ x \in (-1, 3) $.

Решением первой системы является пересечение множеств $ x \ge 2 $ и $ x \in (-1, 3) $, что дает промежуток $ [2, 3) $.

Рассмотрим вторую систему:

$ \begin{cases} x - 2 < 0 \\ 7 - 2x \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $ x - 2 < 0 \implies x < 2 $.

Решим второе неравенство (область определения корня): $ 7 - 2x \ge 0 \implies 7 \ge 2x \implies x \le 3.5 $.

Решением второй системы является пересечение множеств $ x < 2 $ и $ x \le 3.5 $, что дает промежуток $ (-\infty, 2) $.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений двух систем: $ (-\infty, 2) \cup [2, 3) = (-\infty, 3) $.

Ответ: $ (-\infty, 3) $.

2) Решим неравенство $ \sqrt{5 - 2x} > 6x - 1 $. Применим ту же схему, где $ f(x) = 5 - 2x $ и $ \varphi(x) = 6x - 1 $.

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} 6x - 1 \ge 0 \\ 5 - 2x > (6x - 1)^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $ 6x - 1 \ge 0 \implies 6x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{6} $.

Решим второе неравенство:

$ 5 - 2x > 36x^2 - 12x + 1 $

$ 0 > 36x^2 - 10x - 4 $

$ 18x^2 - 5x - 2 < 0 $

Найдем корни уравнения $ 18x^2 - 5x - 2 = 0 $. Дискриминант $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-2) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $. Корни: $ x_{1,2} = \frac{5 \pm 13}{36} $, то есть $ x_1 = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} $ и $ x_2 = \frac{-8}{36} = -\frac{2}{9} $. Неравенство выполняется между корнями: $ x \in (-\frac{2}{9}, \frac{1}{2}) $.

Решением первой системы является пересечение $ x \ge \frac{1}{6} $ и $ x \in (-\frac{2}{9}, \frac{1}{2}) $, что дает промежуток $ [\frac{1}{6}, \frac{1}{2}) $.

Рассмотрим вторую систему:

$ \begin{cases} 6x - 1 < 0 \\ 5 - 2x \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $ 6x - 1 < 0 \implies x < \frac{1}{6} $.

Решим второе неравенство: $ 5 - 2x \ge 0 \implies 5 \ge 2x \implies x \le \frac{5}{2} $.

Решением второй системы является пересечение $ x < \frac{1}{6} $ и $ x \le \frac{5}{2} $, что дает промежуток $ (-\infty, \frac{1}{6}) $.

Общее решение — это объединение решений двух систем: $ (-\infty, \frac{1}{6}) \cup [\frac{1}{6}, \frac{1}{2}) = (-\infty, \frac{1}{2}) $.

Ответ: $ (-\infty, \frac{1}{2}) $.

3) Решим неравенство $ \sqrt{x^2} > x + 1 $. Заметим, что $ \sqrt{x^2} = |x| $, но будем следовать предложенной схеме. Здесь $ f(x) = x^2 $ и $ \varphi(x) = x + 1 $.

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x^2 > (x + 1)^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $ x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1 $.

Решим второе неравенство:

$ x^2 > x^2 + 2x + 1 $

$ 0 > 2x + 1 $

$ -1 > 2x \implies x < -\frac{1}{2} $

Решением первой системы является пересечение $ x \ge -1 $ и $ x < -\frac{1}{2} $, что дает промежуток $ [-1, -\frac{1}{2}) $.

Рассмотрим вторую систему:

$ \begin{cases} x + 1 < 0 \\ x^2 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $ x + 1 < 0 \implies x < -1 $.

Решим второе неравенство: $ x^2 \ge 0 $. Это неравенство верно для любого действительного числа $ x $, то есть $ x \in (-\infty, +\infty) $.

Решением второй системы является пересечение $ x < -1 $ и $ x \in (-\infty, +\infty) $, что дает промежуток $ (-\infty, -1) $.

Общее решение — это объединение решений двух систем: $ (-\infty, -1) \cup [-1, -\frac{1}{2}) = (-\infty, -\frac{1}{2}) $.

Ответ: $ (-\infty, -\frac{1}{2}) $.

4) Решим неравенство $ \sqrt{(x+4)(x+3)} > 6 - x $. Здесь $ f(x) = (x+4)(x+3) = x^2 + 7x + 12 $ и $ \varphi(x) = 6 - x $.

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} 6 - x \ge 0 \\ (x+4)(x+3) > (6 - x)^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $ 6 - x \ge 0 \implies 6 \ge x \implies x \le 6 $.

Решим второе неравенство:

$ x^2 + 7x + 12 > 36 - 12x + x^2 $

$ 7x + 12 > 36 - 12x $

$ 19x > 24 \implies x > \frac{24}{19} $

Решением первой системы является пересечение $ x \le 6 $ и $ x > \frac{24}{19} $, что дает промежуток $ (\frac{24}{19}, 6] $.

Рассмотрим вторую систему:

$ \begin{cases} 6 - x < 0 \\ (x+4)(x+3) \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $ 6 - x < 0 \implies x > 6 $.

Решим второе неравенство: $ (x+4)(x+3) \ge 0 $. Корни $ x = -4 $ и $ x = -3 $. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $ x \in (-\infty, -4] \cup [-3, +\infty) $.

Решением второй системы является пересечение $ x > 6 $ и $ x \in (-\infty, -4] \cup [-3, +\infty) $. Это пересечение дает промежуток $ (6, +\infty) $.

Общее решение — это объединение решений двух систем: $ (\frac{24}{19}, 6] \cup (6, +\infty) = (\frac{24}{19}, +\infty) $.

Ответ: $ (\frac{24}{19}, +\infty) $.