Номер 4.32, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.32. Решите иррациональное неравенство:

1) $\sqrt{(x+3)(4x+5)} < 6$

2) $\sqrt{(x-2)(2x+3)} > 3$

3) $\sqrt{x^2 - x} < \sqrt{2}$

4) $\sqrt[4]{6x - x^2} \ge -5$

1)

Исходное неравенство: $\sqrt{(x+3)(4x+5)} < 6$.

Данное неравенство равносильно системе из двух неравенств: во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным (область допустимых значений, ОДЗ), и, во-вторых, можно возвести обе части неравенства в квадрат, так как они обе неотрицательны.

$\begin{cases} (x+3)(4x+5) \ge 0 \\ (x+3)(4x+5) < 6^2 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $(x+3)(4x+5) \ge 0$.

Корни левой части: $x_1 = -3$ и $x_2 = -5/4$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -3$ или $x \ge -5/4$.

Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [-5/4, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(x+3)(4x+5) < 36$.

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду:

$4x^2 + 5x + 12x + 15 < 36$

$4x^2 + 17x - 21 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 + 17x - 21 = 0$.

Дискриминант: $D = 17^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21) = 289 + 336 = 625 = 25^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-17 \pm 25}{2 \cdot 4} = \frac{-17 \pm 25}{8}$.

$x_1 = \frac{-17 - 25}{8} = \frac{-42}{8} = -\frac{21}{4} = -5.25$.

$x_2 = \frac{-17 + 25}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $4x^2 + 17x - 21 < 0$ выполняется между корнями.

Решение: $x \in (-\frac{21}{4}, 1)$.

3. Найдем пересечение решений двух неравенств.

Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty, -3] \cup [-5/4, +\infty)$ и $(-\frac{21}{4}, 1)$.

Сравним числа: $-5.25 = -\frac{21}{4}$, $-3$, $-1.25 = -\frac{5}{4}$, $\text{1}$.

Пересечение дает два интервала: $(-\frac{21}{4}, -3]$ и $[-\frac{5}{4}, 1)$.

Ответ: $x \in (-\frac{21}{4}, -3] \cup [-\frac{5}{4}, 1)$.

2)

Исходное неравенство: $\sqrt{(x-2)(2x+3)} > 3$.

Так как правая часть (3) положительна, можно возвести обе части в квадрат. При этом условие неотрицательности подкоренного выражения будет выполнено автоматически, так как $(x-2)(2x+3) > 3^2 = 9$, а $9 > 0$.

$(x-2)(2x+3) > 9$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство:

$2x^2 + 3x - 4x - 6 > 9$

$2x^2 - x - 15 > 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 15 = 0$.

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 11}{4}$.

$x_1 = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$.

$x_2 = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $2x^2 - x - 15 > 0$ выполняется вне корней.

Решение: $x < -5/2$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5/2) \cup (3, +\infty)$.

3)

Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 - x} < \sqrt{2}$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) < g(x) \end{cases}$

В нашем случае:

$\begin{cases} x^2 - x \ge 0 \\ x^2 - x < 2 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - x \ge 0$.

$x(x-1) \ge 0$.

Корни: $x=0$ и $x=1$. Парабола с ветвями вверх, значит, решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - x < 2$.

$x^2 - x - 2 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Парабола с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-1, 2)$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$ и $(-1, 2)$.

Пересечение этих множеств: $(-1, 0] \cup [1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 0] \cup [1, 2)$.

4)

Исходное неравенство: $\sqrt[4]{6x - x^2} \ge -5$.

По определению, корень четвертой (четной) степени из действительного числа является неотрицательной величиной. То есть, $\sqrt[4]{6x - x^2} \ge 0$ для всех $\text{x}$, при которых выражение под корнем определено.

Правая часть неравенства - отрицательное число (-5).

Неравенство "неотрицательное число $\ge$ отрицательное число" всегда истинно. Следовательно, нам нужно только найти область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения, то есть все $\text{x}$, при которых подкоренное выражение неотрицательно.

$6x - x^2 \ge 0$

$x(6 - x) \ge 0$

Корни: $x=0$ и $x=6$. Парабола $y = -x^2 + 6x$ имеет ветви, направленные вниз. Поэтому выражение неотрицательно между корнями, включая сами корни.

Решение: $0 \le x \le 6$.

Ответ: $x \in [0, 6]$.