Номер 4.33, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.33. Решите неравенство методом интервалов:

1) $\sqrt[6]{\frac{x-2}{3x+6}} > 1$;

2) $\sqrt{\frac{x-2}{1-2x}} > -1$;

3) $\sqrt{\frac{3x-1}{2-x}} > 1$;

4) $\sqrt{x^3-x^2} \ge \sqrt{2-x-x^2}$.

1) Исходное неравенство: $\sqrt[6]{\frac{x-2}{3x+6}} > 1$.

Так как корень шестой степени (четной степени) по определению является неотрицательным, а правая часть неравенства равна 1 (положительное число), мы можем возвести обе части неравенства в шестую степень. Знак неравенства при этом не изменится:

$\left(\sqrt[6]{\frac{x-2}{3x+6}}\right)^6 > 1^6$

$\frac{x-2}{3x+6} > 1$

Заметим, что это условие ($\frac{x-2}{3x+6} > 1$) является более строгим, чем условие существования корня ($\frac{x-2}{3x+6} \ge 0$), поэтому область допустимых значений (ОДЗ) будет учтена автоматически.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x-2}{3x+6} - 1 > 0$

$\frac{x-2 - (3x+6)}{3x+6} > 0$

$\frac{x-2-3x-6}{3x+6} > 0$

$\frac{-2x-8}{3x+6} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $-2x-8 = 0 \implies -2x = 8 \implies x = -4$.

Нуль знаменателя: $3x+6 = 0 \implies 3x = -6 \implies x = -2$.

Нанесем точки -4 и -2 на числовую прямую. Так как неравенство строгое, точки "выколотые". Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, -2)$ и $(-2, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{-2x-8}{3x+6}$ на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty, -4)$, например $x=-5$: $\frac{-2(-5)-8}{3(-5)+6} = \frac{10-8}{-15+6} = \frac{2}{-9} < 0$. Знак "минус".
• При $x \in (-4, -2)$, например $x=-3$: $\frac{-2(-3)-8}{3(-3)+6} = \frac{6-8}{-9+6} = \frac{-2}{-3} > 0$. Знак "плюс".
• При $x \in (-2, +\infty)$, например $x=0$: $\frac{-2(0)-8}{3(0)+6} = \frac{-8}{6} < 0$. Знак "минус".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это интервал $(-4, -2)$.

Ответ: $x \in (-4, -2)$.

2) Исходное неравенство: $\sqrt{\frac{x-2}{1-2x}} > -1$.

Арифметический квадратный корень по определению всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{A} \ge 0$ для любого $A \ge 0$.

Следовательно, левая часть неравенства $\sqrt{\frac{x-2}{1-2x}}$ всегда больше или равна нулю, если она определена. Любое неотрицательное число всегда больше -1.

Таким образом, неравенство выполняется для всех $\text{x}$, для которых существует левая часть. Область допустимых значений (ОДЗ) для квадратного корня определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{x-2}{1-2x} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x-2=0 \implies x=2$.

Нуль знаменателя: $1-2x=0 \implies 2x=1 \implies x=0.5$.

Нанесем точки 0.5 и 2 на числовую прямую. Точка $x=2$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=0.5$ исключается (знаменатель не может быть равен нулю). Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, 0.5)$, $(0.5, 2]$ и $[2, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x-2}{1-2x}$ на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty, 0.5)$, например $x=0$: $\frac{0-2}{1-0} = -2 < 0$. Знак "минус".
• При $x \in (0.5, 2]$, например $x=1$: $\frac{1-2}{1-2(1)} = \frac{-1}{-1} = 1 > 0$. Знак "плюс".
• При $x \in [2, +\infty)$, например $x=3$: $\frac{3-2}{1-2(3)} = \frac{1}{-5} < 0$. Знак "минус".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервал $(0.5, 2]$.

Ответ: $x \in (0.5, 2]$.

3) Исходное неравенство: $\sqrt{\frac{3x-1}{2-x}} > 1$.

Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства. Это также гарантирует выполнение условия ОДЗ ($\frac{3x-1}{2-x} > 1 \implies \frac{3x-1}{2-x} > 0$).

$\left(\sqrt{\frac{3x-1}{2-x}}\right)^2 > 1^2$

$\frac{3x-1}{2-x} > 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x-1}{2-x} - 1 > 0$

$\frac{3x-1-(2-x)}{2-x} > 0$

$\frac{3x-1-2+x}{2-x} > 0$

$\frac{4x-3}{2-x} > 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $4x-3=0 \implies 4x=3 \implies x = \frac{3}{4}$.

Нуль знаменателя: $2-x=0 \implies x=2$.

Нанесем точки $\frac{3}{4}$ и 2 на числовую прямую. Обе точки "выколотые", так как неравенство строгое, и знаменатель не может быть равен нулю. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, \frac{3}{4})$, $(\frac{3}{4}, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{4x-3}{2-x}$ на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty, \frac{3}{4})$, например $x=0$: $\frac{4(0)-3}{2-0} = \frac{-3}{2} < 0$. Знак "минус".
• При $x \in (\frac{3}{4}, 2)$, например $x=1$: $\frac{4(1)-3}{2-1} = \frac{1}{1} > 0$. Знак "плюс".
• При $x \in (2, +\infty)$, например $x=3$: $\frac{4(3)-3}{2-3} = \frac{9}{-1} < 0$. Знак "минус".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это интервал $(\frac{3}{4}, 2)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{4}, 2)$.

4) Исходное неравенство: $\sqrt[3]{x^3-x^2} \ge \sqrt[3]{2-x-x^2}$.

Так как корень третьей степени (нечетной степени) определен для любого действительного числа, ОДЗ здесь — все действительные числа. Функция $y=t^3$ является возрастающей на всей числовой прямой, поэтому можно возвести обе части неравенства в куб, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[3]{x^3-x^2})^3 \ge (\sqrt[3]{2-x-x^2})^3$

$x^3 - x^2 \ge 2-x-x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^3 - x^2 + x^2 + x - 2 \ge 0$

$x^3 + x - 2 \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни многочлена $P(x) = x^3 + x - 2$. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-2): $\pm 1, \pm 2$.

Проверим $x=1$: $P(1) = 1^3 + 1 - 2 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.

Разложим многочлен на множители, разделив его на $(x-1)$. Один из способов - группировка:

$x^3 - 1 + x - 1 \ge 0$

$(x-1)(x^2+x+1) + (x-1) \ge 0$

$(x-1)(x^2+x+1+1) \ge 0$

$(x-1)(x^2+x+2) \ge 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2+x+2$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=1>0$, то выражение $x^2+x+2$ всегда положительно при любых значениях $\text{x}$.

Поскольку мы умножаем $(x-1)$ на всегда положительное число, знак всего произведения $(x-1)(x^2+x+2)$ совпадает со знаком множителя $(x-1)$.

Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$x-1 \ge 0$

$x \ge 1$

Формально применяя метод интервалов к $(x-1)(x^2+x+2) \ge 0$, находим единственный действительный корень $x=1$. Наносим его на числовую прямую.

• При $x > 1$, например $x=2$: $(2-1)(2^2+2+2) = 1 \cdot 8 = 8 > 0$.
• При $x < 1$, например $x=0$: $(0-1)(0^2+0+2) = -1 \cdot 2 = -2 < 0$.

Нас интересуют значения, где выражение больше или равно нулю. Это промежуток $[1, +\infty)$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.