Номер 4.27, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.27. Решите устно неравенство:

1) $\sqrt{x} > 2$;

2) $\sqrt{x} < 3$;

3) $\sqrt{x} \ge 0$;

4) $\sqrt{x} < -1$.

1) Для неравенства $\sqrt{x} > 2$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства: $(\sqrt{x})^2 > 2^2$, что приводит к $x > 4$. Полученное решение $x > 4$ удовлетворяет ОДЗ $x \ge 0$.

Ответ: $x > 4$ ($(4; +\infty)$).

2) Для неравенства $\sqrt{x} < 3$ ОДЗ такое же: $x \ge 0$. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат: $(\sqrt{x})^2 < 3^2$, что дает $x < 9$. Учитывая ОДЗ, получаем систему условий: $x \ge 0$ и $x < 9$. Решением является пересечение этих множеств.

Ответ: $0 \le x < 9$ ($[0; 9)$).

3) Неравенство $\sqrt{x} \ge 0$. По определению, арифметический квадратный корень из действительного числа — это всегда неотрицательное число. Таким образом, неравенство $\sqrt{x} \ge 0$ истинно для всех значений $\text{x}$, для которых выражение $\sqrt{x}$ определено, то есть для всех $\text{x}$ из области определения.

Ответ: $x \ge 0$ ($[0; +\infty)$).

4) Неравенство $\sqrt{x} < -1$. Как было упомянуто, значение арифметического квадратного корня $\sqrt{x}$ всегда неотрицательно ($\sqrt{x} \ge 0$) для любого $\text{x}$ из ОДЗ. Невозможно, чтобы неотрицательное число было меньше отрицательного числа (-1). Следовательно, у неравенства нет решений.

Ответ: нет решений ($\emptyset$).