Номер 4.25, страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.25*. Решите уравнение:

1) $\sqrt{\cos^2 0,5x - 6 \cos 0,5x + 9} - \sqrt{4 \cos^2 0,5x - 12 \cos 0,5x + 9} = 1;$

2) $\sqrt{(\sin 3x - 4)^2} + \sqrt{9 - 6 \sin 3x + \sin^2 3x} = 6.$

1) Исходное уравнение: $\sqrt{\cos^2{0.5x} - 6\cos{0.5x} + 9} - \sqrt{4\cos^2{0.5x} - 12\cos{0.5x} + 9} = 1$.

Заметим, что выражения под знаками корней являются полными квадратами. Используем формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Первое подкоренное выражение: $\cos^2{0.5x} - 6\cos{0.5x} + 9 = (\cos{0.5x})^2 - 2 \cdot \cos{0.5x} \cdot 3 + 3^2 = (\cos{0.5x} - 3)^2$.

Второе подкоренное выражение: $4\cos^2{0.5x} - 12\cos{0.5x} + 9 = (2\cos{0.5x})^2 - 2 \cdot (2\cos{0.5x}) \cdot 3 + 3^2 = (2\cos{0.5x} - 3)^2$.

Подставим эти выражения в уравнение и воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(\cos{0.5x} - 3)^2} - \sqrt{(2\cos{0.5x} - 3)^2} = 1$

$|\cos{0.5x} - 3| - |2\cos{0.5x} - 3| = 1$.

Для раскрытия модулей оценим знаки выражений внутри них. Область значений функции косинус: $-1 \le \cos{0.5x} \le 1$.

Выражение в первом модуле: $\cos{0.5x} - 3$. Так как $\cos{0.5x} \le 1$, то $\cos{0.5x} - 3 \le 1 - 3 = -2$. Следовательно, выражение $\cos{0.5x} - 3$ всегда отрицательно, и $|\cos{0.5x} - 3| = -(\cos{0.5x} - 3) = 3 - \cos{0.5x}$.

Выражение во втором модуле: $2\cos{0.5x} - 3$. Так как $-1 \le \cos{0.5x} \le 1$, то $-2 \le 2\cos{0.5x} \le 2$. Отсюда $-2 - 3 \le 2\cos{0.5x} - 3 \le 2 - 3$, что дает $-5 \le 2\cos{0.5x} - 3 \le -1$. Следовательно, выражение $2\cos{0.5x} - 3$ также всегда отрицательно, и $|2\cos{0.5x} - 3| = -(2\cos{0.5x} - 3) = 3 - 2\cos{0.5x}$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(3 - \cos{0.5x}) - (3 - 2\cos{0.5x}) = 1$

$3 - \cos{0.5x} - 3 + 2\cos{0.5x} = 1$

$\cos{0.5x} = 1$.

Решим простейшее тригонометрическое уравнение:

$0.5x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{(\sin{3x} - 4)^2} + \sqrt{9 - 6\sin{3x} + \sin^2{3x}} = 6$.

Преобразуем второе подкоренное выражение: $9 - 6\sin{3x} + \sin^2{3x} = \sin^2{3x} - 6\sin{3x} + 9$. Данное выражение является полным квадратом: $(\sin{3x} - 3)^2$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, перепишем уравнение:

$|\sin{3x} - 4| + |\sin{3x} - 3| = 6$.

Для раскрытия модулей оценим знаки выражений внутри них. Область значений функции синус: $-1 \le \sin{3x} \le 1$.

Выражение в первом модуле: $\sin{3x} - 4$. Так как $\sin{3x} \le 1$, то $\sin{3x} - 4 \le 1 - 4 = -3$. Выражение $\sin{3x} - 4$ всегда отрицательно, поэтому $|\sin{3x} - 4| = -(\sin{3x} - 4) = 4 - \sin{3x}$.

Выражение во втором модуле: $\sin{3x} - 3$. Так как $\sin{3x} \le 1$, то $\sin{3x} - 3 \le 1 - 3 = -2$. Выражение $\sin{3x} - 3$ всегда отрицательно, поэтому $|\sin{3x} - 3| = -(\sin{3x} - 3) = 3 - \sin{3x}$.

Подставим раскрытые модули в уравнение:

$(4 - \sin{3x}) + (3 - \sin{3x}) = 6$

$7 - 2\sin{3x} = 6$

$-2\sin{3x} = -1$

$\sin{3x} = \frac{1}{2}$.

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение имеет вид:

$3x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$3x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.