Номер 4.18, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.18. Решите уравнение методом введения новой переменной:

1) $\sqrt{3-x} + \frac{6}{\sqrt{3-x}} = 5;$

2) $x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 9} = 3;$

3) $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x} + 3} = 2;$

4) $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3;$

5) $x^2 - 3x + \sqrt{x^2 - 3x + 5} = 7;$

6) $2x^2 + 3x - 3 + \sqrt{2x^2 + 3x + 9} = 30.$

1) Дано уравнение $\sqrt{3-x} + \frac{6}{\sqrt{3-x}} = 5$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому $3-x > 0$, что означает $x < 3$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{3-x}$. Поскольку корень арифметический, $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t + \frac{6}{t} = 5$

Умножим обе части уравнения на $\text{t}$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 6 = 5t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

1. Если $t = 2$, то $\sqrt{3-x} = 2$. Возведем обе части в квадрат: $3-x = 4$, откуда $x = 3 - 4 = -1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x<3$).

2. Если $t = 3$, то $\sqrt{3-x} = 3$. Возведем обе части в квадрат: $3-x = 9$, откуда $x = 3 - 9 = -6$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($x<3$).

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-6; -1$.

2) Дано уравнение $x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 9} = 3$.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем $x^2 - x + 9$ должно быть неотрицательным. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) положителен, трехчлен $x^2 - x + 9$ всегда положителен при любых $\text{x}$. Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{x^2 - x + 9}$. Так как корень арифметический, $t \ge 0$.

Из замены следует, что $t^2 = x^2 - x + 9$, откуда можно выразить $x^2 - x = t^2 - 9$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 - 9) + t = 3$

Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$t^2 + t - 12 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$. Учитывая ограничение $t \ge 0$, корень $t_2 = -4$ является посторонним. Используем только $t = 3$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - x + 9} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - x + 9 = 9$

$x^2 - x = 0$

$x(x-1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Ответ: $0; 1$.

3) Дано уравнение $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2$.

ОДЗ: $2-x \ge 0$, то есть $x \le 2$. Знаменатель $\sqrt{2-x}+3$ всегда положителен, так как $\sqrt{2-x} \ge 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{2-x}$, где $t \ge 0$.

Подставим в уравнение:

$t + \frac{4}{t+3} = 2$

Умножим обе части на $(t+3)$, так как $t+3 \neq 0$:

$t(t+3) + 4 = 2(t+3)$

$t^2 + 3t + 4 = 2t + 6$

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$. Учитывая ограничение $t \ge 0$, корень $t_2=-2$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t=1$:

$\sqrt{2-x} = 1$

Возведем в квадрат: $2-x = 1$, откуда $x = 1$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($x \le 2$).

Ответ: $\text{1}$.

4) Дано уравнение $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3$.

ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели не равны нулю. $\frac{x}{x+1} > 0$ и $\frac{x+1}{x} > 0$. Решая эти неравенства, например, методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Заметим, что выражения под корнями взаимообратны. Введем замену $t = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{t}$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t + 2 \cdot \frac{1}{t} = 3$

$t + \frac{2}{t} = 3$

Умножим на $t \neq 0$:

$t^2 + 2 = 3t$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня положительны и подходят.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 1$. Возводим в квадрат: $\frac{x}{x+1} = 1$, откуда $x = x+1$, что дает $0=1$. В этом случае решений нет.

2. Если $t = 2$, то $\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 2$. Возводим в квадрат: $\frac{x}{x+1} = 4$, откуда $x = 4(x+1)$, то есть $x = 4x+4$. Тогда $-3x=4$, и $x = -\frac{4}{3}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $-\frac{4}{3} < -1$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

5) Дано уравнение $x^2 - 3x + \sqrt{x^2 - 3x + 5} = 7$.

ОДЗ: $x^2 - 3x + 5 \ge 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $x^2 - 3x + 5$ всегда положительно. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Введем замену $t = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$, где $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 - 3x + 5$, и $x^2 - 3x = t^2 - 5$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 - 5) + t = 7$

$t^2 + t - 12 = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$. Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для $t=3$:

$\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3$

Возведем в квадрат: $x^2 - 3x + 5 = 9$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 4$.

6) Дано уравнение $2x^2 + 3x - 3 + \sqrt{2x^2 + 3x + 9} = 30$.

ОДЗ: $2x^2 + 3x + 9 \ge 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 9 - 72 = -63 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение всегда положительно. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Введем замену $t = \sqrt{2x^2 + 3x + 9}$, где $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = 2x^2 + 3x + 9$. Выражение $2x^2 + 3x - 3$ можно представить как $(2x^2 + 3x + 9) - 12 = t^2 - 12$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 - 12) + t = 30$

$t^2 + t - 42 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 6$ и $t_2 = -7$. Корень $t_2 = -7$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для $t=6$:

$\sqrt{2x^2 + 3x + 9} = 6$

Возведем в квадрат: $2x^2 + 3x + 9 = 36$

$2x^2 + 3x - 27 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm 15}{4}$.

$x_1 = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$x_2 = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$.

Ответ: $-\frac{9}{2}; 3$.