Номер 4.14, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.14. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 2\sqrt{x} - \sqrt{y} = 5, \\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sqrt{6+x} - 3\sqrt{3y+4} = -10, \\ 4\sqrt{3y+4} - 5\sqrt{6+x} = 6. \end{cases} $

1)

Для решения системы уравнений:

$2\sqrt{x} - \sqrt{y} = 5$

$\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 3$

введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Так как значения квадратных корней неотрицательны, то $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Система примет вид:

$2a - b = 5$

$ab = 3$

Из первого уравнения выразим $\text{b}$: $b = 2a - 5$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a(2a - 5) = 3$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$2a^2 - 5a - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Найдем корни уравнения для $\text{a}$:

$a_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{4} = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$.

$a_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{4} = \frac{5 + 7}{4} = 3$.

Поскольку $a = \sqrt{x}$, то $\text{a}$ не может быть отрицательным. Значит, корень $a_1 = -1/2$ не подходит. Остается $a = 3$.

Найдем $\text{b}$ из уравнения $b = 2a - 5$:

$b = 2 \cdot 3 - 5 = 1$.

Проверим условие $b \ge 0$: $1 \ge 0$, условие выполнено.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$.

$\sqrt{y} = 1 \implies y = 1$.

Ответ: $(9; 1)$.

2)

Для решения системы:

$\sqrt{6+x} - 3\sqrt{3y+4} = -10$

$4\sqrt{3y+4} - 5\sqrt{6+x} = 6$

введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt{6+x}$ и $v = \sqrt{3y+4}$.

По определению квадратного корня, $u \ge 0$ и $v \ge 0$. Также должны выполняться условия на подкоренные выражения: $6+x \ge 0 \Rightarrow x \ge -6$ и $3y+4 \ge 0 \Rightarrow y \ge -4/3$.

После замены система примет вид линейной системы относительно $\text{u}$ и $\text{v}$ (второе уравнение для удобства перепишем, поменяв слагаемые местами):

$u - 3v = -10$

$-5u + 4v = 6$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $\text{u}$:

$u = 3v - 10$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-5(3v - 10) + 4v = 6$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\text{v}$:

$-15v + 50 + 4v = 6$

$-11v = 6 - 50$

$-11v = -44$

$v = \frac{-44}{-11} = 4$.

Найденное значение $v=4$ удовлетворяет условию $v \ge 0$.

Теперь найдем $\text{u}$:

$u = 3v - 10 = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2$.

Значение $u=2$ также удовлетворяет условию $u \ge 0$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $\text{x}$ и $\text{y}$:

Из $u = \sqrt{6+x}$ следует:

$2 = \sqrt{6+x}$

Возведем обе части в квадрат:

$4 = 6+x$

$x = 4 - 6 = -2$.

Из $v = \sqrt{3y+4}$ следует:

$4 = \sqrt{3y+4}$

Возведем обе части в квадрат:

$16 = 3y+4$

$3y = 16 - 4$

$3y = 12$

$y = 4$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $x=-2$ и $y=4$ начальным условиям на область определения:

$x = -2 \ge -6$ (верно).

$y = 4 \ge -4/3$ (верно).

Ответ: $(-2; 4)$.