Номер 4.9, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.9. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x+1} = \sqrt{x^2 - 2x + 4};$

2) $\sqrt{x+2} = \sqrt{2x-3};$

3) $\sqrt[3]{x^2-8} = x-2;$

4) $\sqrt[3]{x^2+x^3-6x+8} = x.$

1) Исходное уравнение: $ \sqrt{2x+1} = \sqrt{x^2-2x+4} $.

Уравнение вида $ \sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} $ равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны и одно из них (или оба) неотрицательно:

$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \ge 0 \end{cases} $

Приравняем подкоренные выражения:

$ 2x+1 = x^2-2x+4 $

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2-2x-2x+4-1=0 $

$ x^2-4x+3=0 $

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $\text{4}$, а их произведение равно $\text{3}$. Легко подобрать корни: $ x_1=1 $ и $ x_2=3 $.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти корни области допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x^2-2x+4 \ge 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $ 2x \ge -1 $, то есть $ x \ge -0.5 $.

Рассмотрим второе неравенство $ x^2-2x+4 \ge 0 $. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ y = x^2-2x+4 $: $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 $. Так как дискриминант отрицателен ($ D < 0 $) и старший коэффициент положителен ($ a=1>0 $), парабола полностью находится выше оси абсцисс, следовательно, выражение $ x^2-2x+4 $ положительно при любом значении $\text{x}$.

Таким образом, ОДЗ уравнения сводится к условию $ x \ge -0.5 $.

Проверим найденные корни:

Корень $ x=1 $ удовлетворяет условию $ 1 \ge -0.5 $.

Корень $ x=3 $ удовлетворяет условию $ 3 \ge -0.5 $.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 1; 3.

2) Исходное уравнение: $ \sqrt{x+2} = \sqrt{2x-3} $.

Как и в предыдущем задании, приравняем подкоренные выражения и учтем ОДЗ:

$ x+2 = 2x-3 $

Решим полученное линейное уравнение:

$ 2+3 = 2x-x $

$ x=5 $

Найдем ОДЗ из системы неравенств:

$ \begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 2x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ 2x \ge 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 1.5 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $ x \ge 1.5 $.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $ x=5 $ этому условию. Так как $ 5 \ge 1.5 $, корень является решением уравнения.

Ответ: 5.

3) Исходное уравнение: $ \sqrt[3]{x^2-8} = x-2 $.

Кубический корень определен для любого действительного числа, поэтому ОДЗ здесь — все действительные числа. Для решения возведем обе части уравнения в третью степень:

$ (\sqrt[3]{x^2-8})^3 = (x-2)^3 $

$ x^2-8 = (x-2)^3 $

Раскроем куб разности по формуле $ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $:

$ x^2-8 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 $

$ x^2-8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ x^3 - 6x^2 - x^2 + 12x - 8 + 8 = 0 $

$ x^3 - 7x^2 + 12x = 0 $

Вынесем общий множитель $\text{x}$ за скобки:

$ x(x^2 - 7x + 12) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $ x_1 = 0 $

2) $ x^2 - 7x + 12 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 7, произведение равно 12. Корни: $ x_2 = 3 $ и $ x_3 = 4 $.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: 0; 3; 4.

4) Исходное уравнение: $ \sqrt[3]{x^2+x^3-6x+8} = x $.

Аналогично предыдущему заданию, возведем обе части уравнения в третью степень, так как это равносильное преобразование для уравнений с кубическими корнями:

$ (\sqrt[3]{x^2+x^3-6x+8})^3 = x^3 $

$ x^2+x^3-6x+8 = x^3 $

Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:

$ x^2-6x+8 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Отсюда находим корни:

$ x_1 = 2 $

$ x_2 = 4 $

Оба найденных значения являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 2; 4.