Номер 4.8, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.8. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x-1}-x = -1;$

2) $\sqrt{x+\sqrt{x-4}}=2;$

3) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+4}=6;$

4) $3\sqrt{x-1}+11 = 2x.$

1) Исходное уравнение: $\sqrt{2x-1}-x = -1$.

Уединим корень в левой части уравнения, перенеся $-x$ в правую часть:

$\sqrt{2x-1} = x-1$.

Для того чтобы уравнение имело решение, должны выполняться условия (область допустимых значений):

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x-1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 1 \Rightarrow x \ge 0.5$.

2. Правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной: $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

Объединяя оба условия, получаем, что $x \ge 1$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x-1})^2 = (x-1)^2$

$2x-1 = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 2x + 1 + 1 = 0$

$x^2 - 4x + 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.

Мы получили два потенциальных корня: $x_1 = 2 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{2}$.

Проверим их на соответствие условию $x \ge 1$.

Корень $x_1 = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.41 = 3.41$. Так как $3.41 \ge 1$, этот корень подходит.

Корень $x_2 = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.41 = 0.59$. Так как $0.59 < 1$, этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 1$ и является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: $2 + \sqrt{2}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $x \ge 0$

2. $x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$

Общая ОДЗ: $x \ge 4$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{x-4} = 2 - \sqrt{x}$.

Так как левая часть (арифметический корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:

$2 - \sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow 2 \ge \sqrt{x}$.

Возведя в квадрат (обе части неотрицательны), получаем $4 \ge x$.

Итак, мы имеем систему условий для $\text{x}$:

$\begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 4 \end{cases}$

Единственное число, удовлетворяющее этой системе, это $x=4$.

Проверим, является ли $x=4$ решением исходного уравнения. Подставим его в уравнение:

$\sqrt{4} + \sqrt{4-4} = 2 + \sqrt{0} = 2 + 0 = 2$.

$2 = 2$.

Равенство верное, значит $x=4$ является решением.

Ответ: $\text{4}$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+4}=6$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $2x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0.5$

2. $x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$

Общая ОДЗ: $x \ge 0.5$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{2x-1} = 6 - \sqrt{x+4}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x-1})^2 = (6-\sqrt{x+4})^2$

$2x-1 = 36 - 12\sqrt{x+4} + (x+4)$

$2x-1 = 40 + x - 12\sqrt{x+4}$

Теперь уединим оставшийся корень:

$12\sqrt{x+4} = 40 + x - (2x-1)$

$12\sqrt{x+4} = 41 - x$

Для существования решения правая часть должна быть неотрицательной: $41-x \ge 0 \Rightarrow x \le 41$. Это условие не сужает нашу ОДЗ $x \ge 0.5$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(12\sqrt{x+4})^2 = (41-x)^2$

$144(x+4) = 1681 - 82x + x^2$

$144x + 576 = 1681 - 82x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 82x - 144x + 1681 - 576 = 0$

$x^2 - 226x + 1105 = 0$

Решим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-226)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1105 = 51076 - 4420 = 46656$

$\sqrt{D} = \sqrt{46656} = 216$

$x_1 = \frac{226+216}{2} = \frac{442}{2} = 221$

$x_2 = \frac{226-216}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Проверим найденные корни.

$x_1 = 221$. Этот корень не подходит, так как он не удовлетворяет условию $x \le 41$ (мы получили $41-221 < 0$).

$x_2 = 5$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge 0.5$) и дополнительному условию ($5 \le 41$).

Выполним проверку подстановкой $x=5$ в исходное уравнение:

$\sqrt{2 \cdot 5 - 1} + \sqrt{5+4} = \sqrt{9} + \sqrt{9} = 3+3=6$.

$6=6$.

Равенство верное, корень $x=5$ является решением.

Ответ: $\text{5}$.

4) Исходное уравнение: $3\sqrt{x-1}+11=2x$.

Уединим корень в левой части:

$3\sqrt{x-1} = 2x-11$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

2. $2x-11 \ge 0$ (так как правая часть равна утроенному арифметическому корню) $\Rightarrow 2x \ge 11 \Rightarrow x \ge 5.5$.

Общая ОДЗ: $x \ge 5.5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(3\sqrt{x-1})^2 = (2x-11)^2$

$9(x-1) = 4x^2 - 44x + 121$

$9x-9 = 4x^2 - 44x + 121$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$4x^2 - 44x - 9x + 121 + 9 = 0$

$4x^2 - 53x + 130 = 0$

Решим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-53)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 130 = 2809 - 16 \cdot 130 = 2809 - 2080 = 729$

$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{53 \pm 27}{2 \cdot 4} = \frac{53 \pm 27}{8}$

$x_1 = \frac{53+27}{8} = \frac{80}{8} = 10$

$x_2 = \frac{53-27}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} = 3.25$

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \ge 5.5$.

$x_1 = 10$. Этот корень подходит, так как $10 \ge 5.5$.

$x_2 = 3.25$. Этот корень не подходит, так как $3.25 < 5.5$.

Проверим $x=10$ подстановкой в исходное уравнение:

$3\sqrt{10-1}+11 = 3\sqrt{9}+11 = 3 \cdot 3 + 11 = 9+11=20$.

$2x = 2 \cdot 10 = 20$.

$20=20$.

Равенство верное, $x=10$ является решением.

Ответ: $10$.