Номер 4.6, страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.6. Решите уравнение с помощью возведения обеих его частей в степень:

1) $\sqrt{x^4 + 19} = 10$;

2) $\sqrt[3]{x^2 - 28} = 2$;

3) $\sqrt{61 - x^2} = 5$;

4) $\sqrt[3]{x} - 9 = -3$.

1) Дано уравнение $\sqrt{x^4 + 19} = 10$.

Для решения возведем обе части уравнения в квадрат, так как обе части неотрицательны. Область допустимых значений подкоренного выражения ($x^4 + 19 \geq 0$) выполняется для любых действительных чисел $\text{x}$, поскольку $x^4$ всегда неотрицательно.

$(\sqrt{x^4 + 19})^2 = 10^2$

$x^4 + 19 = 100$

Вычтем 19 из обеих частей уравнения:

$x^4 = 100 - 19$

$x^4 = 81$

Это биквадратное уравнение. Его можно представить как $(x^2)^2 = 81$. Отсюда следует, что $x^2$ может быть равен $\sqrt{81}$ или $-\sqrt{81}$.

$x^2 = 9$ или $x^2 = -9$.

Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, уравнение $x^2 = -9$ не имеет действительных корней.

Решаем уравнение $x^2 = 9$.

$x = \pm\sqrt{9}$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

Ответ: $x = \pm 3$.

2) Дано уравнение $\sqrt[3]{x^2 - 28} = 2$.

Для решения уравнения с кубическим корнем можно возвести обе части уравнения в куб. Это преобразование является равносильным для любых действительных чисел.

$(\sqrt[3]{x^2 - 28})^3 = 2^3$

$x^2 - 28 = 8$

Прибавим 28 к обеим частям уравнения:

$x^2 = 8 + 28$

$x^2 = 36$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{36}$

$x_1 = 6$, $x_2 = -6$.

Ответ: $x = \pm 6$.

3) Дано уравнение $\sqrt{61 - x^2} = 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Правая часть ($\text{5}$) неотрицательна, поэтому это преобразование не приведет к появлению посторонних корней при условии, что подкоренное выражение неотрицательно ($61 - x^2 \geq 0$).

$(\sqrt{61 - x^2})^2 = 5^2$

$61 - x^2 = 25$

Выразим $x^2$:

$x^2 = 61 - 25$

$x^2 = 36$

Проверим условие $61 - x^2 \geq 0$. Подставив $x^2 = 36$, получаем $61 - 36 = 25 \geq 0$. Условие выполнено.

Теперь найдем $\text{x}$:

$x = \pm\sqrt{36}$

$x_1 = 6$, $x_2 = -6$.

Ответ: $x = \pm 6$.

4) Дано уравнение $\sqrt[3]{x - 9} = -3$.

Чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части уравнения в третью (нечетную) степень. Это преобразование является равносильным.

$(\sqrt[3]{x - 9})^3 = (-3)^3$

$x - 9 = -27$

Прибавим 9 к обеим частям уравнения:

$x = -27 + 9$

$x = -18$

Ответ: $x = -18$.