Работа в группе, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Покажите, что следующая система имеет единственное решение и найдите его:

$$\begin{cases} \sqrt{-x - 3} + y = 2t, \\ 5 + 2y - \sqrt{3 - 2x - x^2} = t. \end{cases}$$

1) Какова ОДЗ системы?

2) Какой вывод можно сделать из ОДЗ?

3) Чему равно решение системы?

4) Если бы ОДЗ уравнения находилась на некотором числовом промежутке, сколько решений имела бы система?

Обоснуйте ответы.

1) Какова ОДЗ системы?

Область допустимых значений (ОДЗ) системы определяется условиями неотрицательности подкоренных выражений. В системе два квадратных корня, что дает нам два неравенства:

Из первого уравнения: $-x - 3 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $x \le -3$.

Из второго уравнения: $3 - 2x - x^2 \ge 0$. Умножим на $-1$, изменив знак неравенства: $x^2 + 2x - 3 \le 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 2x - 3 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, то есть при $-3 \le x \le 1$.

ОДЗ для переменной $\text{x}$ является пересечением двух полученных условий: $x \le -3$ и $-3 \le x \le 1$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x = -3$.

Ответ: ОДЗ системы: $x = -3$.

2) Какой вывод можно сделать из ОДЗ?

Тот факт, что область допустимых значений для переменной $\text{x}$ состоит из единственного числа, означает, что если у системы есть решение, то значение $\text{x}$ в этом решении должно быть равно $-3$. Это сводит задачу нахождения решения системы с тремя переменными к более простой задаче, где одна из переменных уже известна. Таким образом, если решение существует, оно будет единственным, так как значение $\text{x}$ однозначно определено.

Ответ: Из ОДЗ следует, что переменная $\text{x}$ может принимать только одно значение $x = -3$, что является залогом единственности решения системы.

3) Чему равно решение системы?

Подставим найденное значение $x = -3$ в исходную систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{-(-3) - 3} + y = 2t \\ 5 + 2y - \sqrt{3 - 2(-3) - (-3)^2} = t \end{cases} $

Упростим выражения под корнями:

$ \begin{cases} \sqrt{3 - 3} + y = 2t \\ 5 + 2y - \sqrt{3 + 6 - 9} = t \end{cases} \implies \begin{cases} \sqrt{0} + y = 2t \\ 5 + 2y - \sqrt{0} = t \end{cases} $

Система принимает вид:

$ \begin{cases} y = 2t \\ 5 + 2y = t \end{cases} $

Это система двух линейных уравнений с двумя переменными $\text{y}$ и $\text{t}$. Решим ее методом подстановки. Подставим выражение для $\text{y}$ из первого уравнения во второе:

$5 + 2(2t) = t$

$5 + 4t = t$

$3t = -5$

$t = -\frac{5}{3}$

Теперь найдем $\text{y}$, подставив значение $\text{t}$ в первое уравнение:

$y = 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{10}{3}$

Таким образом, мы нашли единственное решение системы: $x = -3$, $y = -\frac{10}{3}$, $t = -\frac{5}{3}$.

Ответ: Решением системы является тройка чисел $(x, y, t) = \left(-3, -\frac{10}{3}, -\frac{5}{3}\right)$.

4) Если бы ОДЗ уравнения находилась на некотором числовом промежутке, сколько решений имела бы система? Обоснуйте ответы.

Предположим, что ОДЗ для переменной $\text{x}$ представляет собой некий числовой промежуток $\text{I}$, а не отдельную точку. Это означало бы, что для любого $x \in I$ оба подкоренных выражения в системе неотрицательны.

Для каждого конкретного значения $\text{x}$ из этого промежутка $\text{I}$, значения $\sqrt{-x-3}$ и $\sqrt{3-2x-x^2}$ являются определенными числами. В этом случае исходная система превращается в систему двух линейных уравнений относительно переменных $\text{y}$ и $\text{t}$:

$ \begin{cases} y - 2t = -\sqrt{-x-3} \\ 2y - t = \sqrt{3-2x-x^2} - 5 \end{cases} $

Определитель матрицы коэффициентов этой системы равен $D = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2 = -1 + 4 = 3$.

Поскольку определитель не равен нулю ($D=3 \ne 0$), эта система линейных уравнений имеет единственное решение для $\text{y}$ и $\text{t}$ при любом фиксированном значении $\text{x}$ из ОДЗ.

Если бы ОДЗ была числовым промежутком (например, отрезком $[a, b]$, где $a<b$), то он содержал бы бесконечное множество значений $\text{x}$. Каждому такому значению $\text{x}$ соответствовала своя единственная пара $(y, t)$. Следовательно, вся система имела решений.

Ответ: Если бы ОДЗ для переменной $\text{x}$ была числовым промежутком (содержащим более одной точки), система имела бы бесконечное множество решений, поскольку каждому значению $\text{x}$ из этого промежутка соответствовало бы уникальное решение для $\text{y}$ и $\text{t}$.