Номер 3.100, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.100. Определите знак выражения:

1) $\sin \frac{17\pi}{4}$;

2) $\cos2$;

3) $\operatorname{tg}3, 3\pi$;

4) $\operatorname{ctg}90$.

1) $\sin\frac{17\pi}{4}$

Для того чтобы определить знак синуса, необходимо найти, в какой координатной четверти находится угол $\frac{17\pi}{4}$. Функция синуса имеет период $2\pi$. Мы можем упростить угол, вычтя из него целое число периодов. Представим $\frac{17\pi}{4}$ в виде смешанной дроби: $\frac{17\pi}{4} = 4\frac{1}{4}\pi = 4\pi + \frac{\pi}{4}$. Так как $4\pi$ — это два полных оборота ($2 \cdot 2\pi$), то положение конечной точки на единичной окружности для угла $\frac{17\pi}{4}$ совпадает с положением для угла $\frac{\pi}{4}$. Таким образом, $\sin(\frac{17\pi}{4}) = \sin(4\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$. Угол $\frac{\pi}{4}$ находится в первой координатной четверти, так как выполняется неравенство $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$. В первой четверти значения функции синус положительны.

Ответ: знак плюс (+).

2) cos2

Поскольку у аргумента функции косинус не указан знак градуса (o ), угол задан в радианах. Чтобы определить знак выражения, установим, в какой четверти находится угол в 2 радиана. Для этого сравним число 2 со значениями углов, ограничивающих четверти: $\text{0}$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получаем: $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Так как $1,57 < 2 < 3,14$, то справедливо неравенство $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$. Это означает, что угол в 2 радиана расположен во второй координатной четверти. В этой четверти косинус принимает отрицательные значения.

Ответ: знак минус (-).

3) tg3, 3π

Запись "tg3, 3π" является неоднозначной. Наиболее вероятно, что в условии допущена опечатка и имелось в виду выражение $\tg(3\pi)$. Функция тангенса имеет период $\pi$. Используя это свойство, мы можем упростить аргумент: $\tg(3\pi) = \tg(0 + 3\cdot\pi) = \tg(0)$. Значение тангенса для угла 0 радиан равно $\tg(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным, то есть знака не имеет.

Ответ: выражение равно 0 и знака не имеет.

4) ctg90

В данном случае аргумент функции указан без знака градуса. Однако, по принятому в школьных учебниках соглашению, если аргумент тригонометрической функции является одним из "опорных" углов (как 90, 180, 270 и т.д.), то по умолчанию имеются в виду градусы. Будем исходить из того, что имеется в виду угол $90^\circ$. Вычислим значение котангенса для этого угла: $\text{ctg}(90^\circ) = \frac{\cos(90^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{0}{1} = 0$. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Ответ: выражение равно 0 и знака не имеет.