Номер 3.94, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.94. По заданной производной $f'(x)$ найдите функцию $f(x)$. Результат проверьте дифференцированием.

1) $x \left(3x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{4}}}\right)$

2) $6\sqrt{x} - \frac{1}{x^2}$

3) $\frac{2}{\sqrt{x}} - 7x^2\sqrt{x}$

4) $5(\sqrt{x})^3 - \frac{3x}{\sqrt{x}}$

1)

Дана производная $f'(x) = x(3x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}})$.

Сначала упростим выражение для производной, раскрыв скобки:

$f'(x) = x \cdot 3x^{\frac{1}{2}} - x \cdot \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} = 3x^{1+\frac{1}{2}} - 2x^{1-\frac{4}{3}} = 3x^{\frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{1}{3}}$.

Чтобы найти функцию $f(x)$, найдем ее первообразную (неопределенный интеграл) от $f'(x)$. Используем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$f(x) = \int (3x^{\frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{1}{3}}) dx = \int 3x^{\frac{3}{2}} dx - \int 2x^{-\frac{1}{3}} dx$

$f(x) = 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} - 2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} + C = 3 \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C$

$f(x) = 3 \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C = \frac{6}{5}x^{\frac{5}{2}} - 3x^{\frac{2}{3}} + C$.

Проверка дифференцированием:

Найдем производную от полученной функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{6}{5}x^{\frac{5}{2}} - 3x^{\frac{2}{3}} + C)' = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2}-1} - 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}-1} + 0 = 3x^{\frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{1}{3}}$.

Преобразуем выражение к исходному виду, вынеся $\text{x}$ за скобки:

$f'(x) = x(3x^{\frac{3}{2}-1} - 2x^{-\frac{1}{3}-1}) = x(3x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{4}{3}}) = x(3x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}})$.

Результат совпадает с исходной производной.

Ответ: $f(x) = \frac{6}{5}x^{\frac{5}{2}} - 3x^{\frac{2}{3}} + C$.

2)

Дана производная $f'(x) = 6\sqrt{x} - \frac{1}{x^2}$.

Перепишем производную, используя степени:

$f'(x) = 6x^{\frac{1}{2}} - x^{-2}$.

Найдем первообразную функции $f'(x)$:

$f(x) = \int (6x^{\frac{1}{2}} - x^{-2}) dx = \int 6x^{\frac{1}{2}} dx - \int x^{-2} dx$.

Применяя правило интегрирования степенной функции, получаем:

$f(x) = 6 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 6 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^{-1}}{-1} + C$.

$f(x) = 6 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{-1} + C = 4x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x} + C$.

Проверка дифференцированием:

Найдем производную от найденной функции $f(x)$:

$f'(x) = (4x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x} + C)' = (4x^{\frac{3}{2}} + x^{-1} + C)' = 4 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1} + (-1)x^{-1-1} + 0 = 6x^{\frac{1}{2}} - x^{-2}$.

Перепишем результат в исходном виде:

$f'(x) = 6\sqrt{x} - \frac{1}{x^2}$.

Результат совпадает с исходной производной.

Ответ: $f(x) = 4x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x} + C$.

3)

Дана производная $f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} - 7x^2\sqrt{x}$.

Перепишем производную в виде степеней:

$f'(x) = 2x^{-\frac{1}{2}} - 7x^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = 2x^{-\frac{1}{2}} - 7x^{2+\frac{1}{2}} = 2x^{-\frac{1}{2}} - 7x^{\frac{5}{2}}$.

Найдем первообразную функции $f'(x)$:

$f(x) = \int (2x^{-\frac{1}{2}} - 7x^{\frac{5}{2}}) dx = \int 2x^{-\frac{1}{2}} dx - \int 7x^{\frac{5}{2}} dx$.

Интегрируем, используя правило для степенной функции:

$f(x) = 2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} - 7 \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} - 7 \cdot \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} + C$.

$f(x) = 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C = 4x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{7}{2}} + C$.

Проверка дифференцированием:

Найдем производную от найденной функции $f(x)$:

$f'(x) = (4x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{7}{2}} + C)' = 4 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} - 2 \cdot \frac{7}{2} x^{\frac{7}{2}-1} + 0 = 2x^{-\frac{1}{2}} - 7x^{\frac{5}{2}}$.

Перепишем результат в исходном виде:

$f'(x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 7x^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{x}} - 7x^2\sqrt{x}$.

Результат совпадает с исходной производной.

Ответ: $f(x) = 4x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{7}{2}} + C$.

4)

Дана производная $f'(x) = 5(\sqrt{x})^3 - \frac{3x}{\sqrt{x}}$.

Упростим выражение для производной, используя свойства степеней $(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}})$:

$f'(x) = 5(x^{\frac{1}{2}})^3 - \frac{3x^1}{x^{\frac{1}{2}}} = 5x^{\frac{3}{2}} - 3x^{1-\frac{1}{2}} = 5x^{\frac{3}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}$.

Найдем первообразную функции $f'(x)$:

$f(x) = \int (5x^{\frac{3}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}) dx = \int 5x^{\frac{3}{2}} dx - \int 3x^{\frac{1}{2}} dx$.

Применяя правило интегрирования степенной функции, получаем:

$f(x) = 5 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} - 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C$.

$f(x) = 5 \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = 2x^{\frac{5}{2}} - 2x^{\frac{3}{2}} + C$.

Проверка дифференцированием:

Найдем производную от найденной функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^{\frac{5}{2}} - 2x^{\frac{3}{2}} + C)' = 2 \cdot \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2}-1} - 2 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1} + 0 = 5x^{\frac{3}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}$.

Перепишем результат в исходном виде:

$f'(x) = 5(x^{\frac{1}{2}})^3 - \frac{3x}{x^{\frac{1}{2}}} = 5(\sqrt{x})^3 - \frac{3x}{\sqrt{x}}$.

Результат совпадает с исходной производной.

Ответ: $f(x) = 2x^{\frac{5}{2}} - 2x^{\frac{3}{2}} + C$.