Номер 3.88, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.88. Найдите первообразные для следующих функций:

1) $f(x) = 5x\sqrt{x}$

2) $f(x) = \frac{1}{6}x^{1.75}$

3) $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x}}$

4) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2x}$

1) Сначала преобразуем функцию к степенному виду: $f(x) = 5x\sqrt{x} = 5x^1 \cdot x^{1/2} = 5x^{3/2}$.

Первообразная для функции вида $kx^n$ находится по формуле $F(x) = k\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Для данной функции $k=5$ и $n = 3/2$:

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} + C = 5 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = 5 \cdot \frac{2}{5} x^{5/2} + C = 2x^{5/2} + C$.

Ответ: $F(x) = 2x^{5/2} + C$.

2) Представим десятичную степень в виде обыкновенной дроби: $1.75 = \frac{7}{4}$. Функция примет вид: $f(x) = \frac{1}{6}x^{7/4}$.

Находим первообразную для $k=1/6$ и $n = 7/4$:

$F(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{x^{7/4 + 1}}{7/4 + 1} + C = \frac{1}{6} \cdot \frac{x^{11/4}}{11/4} + C = \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{11} x^{11/4} + C = \frac{4}{66}x^{11/4} + C = \frac{2}{33}x^{11/4} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{33}x^{11/4} + C$.

3) Преобразуем функцию к степенному виду: $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x}} = \frac{x^2}{x^{1/2}} = x^{2 - 1/2} = x^{3/2}$.

Находим первообразную для $n = 3/2$:

$F(x) = \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} + C = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{5}x^{5/2} + C$.

4) Преобразуем функцию к степенному виду: $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2x} = \frac{x^{1/2}}{2x^1} = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$.

Находим первообразную для $k=1/2$ и $n = -1/2$:

$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^{1/2} + C = \sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + C$.