Номер 3.83, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.83. Найдите производную функции:

1) $y = \sqrt[5]{x}$;

2) $y = \sqrt[4]{x}$;

3) $y = \sqrt{x} - 6\sqrt[3]{x}$;

4) $y = \sqrt[a]{x} + \sqrt[b]{x}$.

1) $y = \sqrt[5]{x}$

Чтобы найти производную этой функции, сначала представим корень в виде степени. Корень пятой степени из $\text{x}$ эквивалентен $\text{x}$ в степени $\frac{1}{5}$.

$y = x^{\frac{1}{5}}$

Теперь применим основную формулу для производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где в нашем случае $n = \frac{1}{5}$.

$y' = \left(x^{\frac{1}{5}}\right)' = \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5} - 1} = \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5} - \frac{5}{5}} = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$

Чтобы записать ответ в более привычной форме, преобразуем отрицательную степень в дробь и вернемся к форме корня.

$y' = \frac{1}{5x^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

2) $y = \sqrt[4]{x}$

Аналогично первому пункту, представим функцию в виде степени: $y = x^{\frac{1}{4}}$.

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ при $n = \frac{1}{4}$.

$y' = \left(x^{\frac{1}{4}}\right)' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4} - \frac{4}{4}} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$

Перепишем результат в виде выражения с корнем.

$y' = \frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

3) $y = \sqrt{x} - 6\sqrt[3]{x}$

Сначала представим каждый член функции в виде степени:

$y = x^{\frac{1}{2}} - 6x^{\frac{1}{3}}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования разности функций $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$ и правило для степенной функции.

$y' = (x^{\frac{1}{2}} - 6x^{\frac{1}{3}})' = (x^{\frac{1}{2}})' - (6x^{\frac{1}{3}})'$

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

$(x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(6x^{\frac{1}{3}})' = 6 \cdot (x^{\frac{1}{3}})' = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} = 2x^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}$

Теперь объединим результаты:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}$.

4) $y = \sqrt[a]{x} + \sqrt[b]{x}$

Предполагая, что $\text{a}$ и $\text{b}$ являются постоянными, представим функцию в виде суммы степеней:

$y = x^{\frac{1}{a}} + x^{\frac{1}{b}}$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы функций $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$ и правило для степенной функции.

$y' = (x^{\frac{1}{a}} + x^{\frac{1}{b}})' = (x^{\frac{1}{a}})' + (x^{\frac{1}{b}})'$

Применяя правило $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ для каждого слагаемого, получаем:

$y' = \frac{1}{a}x^{\frac{1}{a} - 1} + \frac{1}{b}x^{\frac{1}{b} - 1}$

Этот ответ можно оставить в таком виде, или преобразовать к форме с корнями, как в предыдущих примерах:

$y' = \frac{1}{a}x^{\frac{1-a}{a}} + \frac{1}{b}x^{\frac{1-b}{b}} = \frac{1}{a\sqrt[a]{x^{a-1}}} + \frac{1}{b\sqrt[b]{x^{b-1}}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{a}x^{\frac{1}{a}-1} + \frac{1}{b}x^{\frac{1}{b}-1}$.