Номер 3.79, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.79. Расположите числа 1, $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{4}$, $\sqrt[5]{5}$ в порядке возрастания.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо их сравнить. Нам даны числа: $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{4}, \sqrt[5]{5}$.

Сначала упростим число $\sqrt[4]{4}$:

$\sqrt[4]{4} = 4^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Таким образом, в исходном наборе есть два равных числа: $\sqrt[4]{4}$ и $\sqrt{2}$. Задача сводится к сравнению уникальных чисел: $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[5]{5}$.

Чтобы сравнить числа с разными показателями корня, представим их в виде степеней с рациональным показателем: $\text{1}$, $2^{1/2}$, $3^{1/3}$, $5^{1/5}$. Для их сравнения возведем все числа в одну и ту же степень. В качестве такой степени выберем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей показателей степеней: 2, 3 и 5.

НОК(2, 3, 5) = 30.

Возведем каждое из чисел в 30-ю степень. Так как функция $y = x^{30}$ является возрастающей для положительных чисел, порядок неравенства для исходных чисел будет таким же, как и для их 30-х степеней.

$1^{30} = 1$

$(\sqrt{2})^{30} = (2^{1/2})^{30} = 2^{15}$

$(\sqrt[3]{3})^{30} = (3^{1/3})^{30} = 3^{10}$

$(\sqrt[5]{5})^{30} = (5^{1/5})^{30} = 5^6$

Теперь необходимо сравнить полученные целые числа: $1, 2^{15}, 3^{10}, 5^6$.

Число 1 очевидно является наименьшим.

Далее сравним $2^{15}, 3^{10}$ и $5^6$, приводя их к общим показателям степени, чтобы сравнить основания.

Сравнение $2^{15}$ и $3^{10}$: Наибольший общий делитель показателей 15 и 10 равен 5. Приведем степени к общему показателю 5. $2^{15} = (2^3)^5 = 8^5$. $3^{10} = (3^2)^5 = 9^5$. Так как $8 < 9$, то $8^5 < 9^5$, следовательно $2^{15} < 3^{10}$.

Сравнение $2^{15}$ и $5^6$: Наибольший общий делитель показателей 15 и 6 равен 3. Приведем степени к общему показателю 3. $2^{15} = (2^5)^3 = 32^3$. $5^6 = (5^2)^3 = 25^3$. Так как $32 > 25$, то $32^3 > 25^3$, следовательно $2^{15} > 5^6$.

Из этих двух сравнений ($2^{15} < 3^{10}$ и $2^{15} > 5^6$) мы получаем, что $5^6 < 2^{15} < 3^{10}$.

Таким образом, порядок для возведенных в степень чисел следующий: $1 < 5^6 < 2^{15} < 3^{10}$.

Возвращаясь к исходным числам, получаем тот же порядок:

$1 < \sqrt[5]{5} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$.

Учитывая, что $\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$, располагаем все исходные числа в порядке возрастания.

Ответ: $1, \sqrt[5]{5}, \sqrt{2}, \sqrt[4]{4}, \sqrt[3]{3}$ (поскольку $\sqrt{2} = \sqrt[4]{4}$, их взаимный порядок не важен).