Номер 3.76, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.76. Найдите значение выражения $(a+x^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{2}} + (a-x^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{2}}$, если $x = 4(a-1), a > 2.$

Обозначим данное выражение через $\text{E}$: $E = \left(a + x^{\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(a - x^{\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}$

По определению степенной функции с дробным показателем $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$. Подставим в это выражение значение $x = 4(a-1)$: $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4(a-1)} = 2\sqrt{a-1}$.

Поскольку по условию $a > 2$, то $a-1 > 1$, и корень из этого выражения является действительным положительным числом.

Теперь подставим полученное выражение для $x^{\frac{1}{2}}$ в исходное выражение $\text{E}$: $E = \left(a + 2\sqrt{a-1}\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(a - 2\sqrt{a-1}\right)^{-\frac{1}{2}}$

Рассмотрим подкоренные выражения. Преобразуем их, выделив полный квадрат. Для этого представим $\text{a}$ в виде $a = (a-1) + 1$:

$a + 2\sqrt{a-1} = (a-1) + 2\sqrt{a-1} + 1 = (\sqrt{a-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1} + 1)^2$

$a - 2\sqrt{a-1} = (a-1) - 2\sqrt{a-1} + 1 = (\sqrt{a-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1} - 1)^2$

Подставим эти преобразованные выражения обратно в $\text{E}$: $E = \left((\sqrt{a-1} + 1)^2\right)^{-\frac{1}{2}} + \left((\sqrt{a-1} - 1)^2\right)^{-\frac{1}{2}}$

Используя свойство степени $(b^m)^n = b^{mn}$, получаем: $E = (\sqrt{a-1} + 1)^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} + \left|\sqrt{a-1} - 1\right|^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = (\sqrt{a-1} + 1)^{-1} + \left|\sqrt{a-1} - 1\right|^{-1}$

Необходимо раскрыть модуль. Так как по условию $a > 2$, то $a-1 > 1$. Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем $\sqrt{a-1} > 1$. Следовательно, выражение $\sqrt{a-1} - 1$ положительно, и $|\sqrt{a-1} - 1| = \sqrt{a-1} - 1$.

Теперь выражение $\text{E}$ принимает вид: $E = \frac{1}{\sqrt{a-1} + 1} + \frac{1}{\sqrt{a-1} - 1}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(\sqrt{a-1} + 1)(\sqrt{a-1} - 1)$. Используя формулу разности квадратов, получаем: $(\sqrt{a-1} + 1)(\sqrt{a-1} - 1) = (\sqrt{a-1})^2 - 1^2 = (a-1) - 1 = a-2$.

Сложим дроби: $E = \frac{(\sqrt{a-1} - 1) + (\sqrt{a-1} + 1)}{a-2} = \frac{\sqrt{a-1} - 1 + \sqrt{a-1} + 1}{a-2} = \frac{2\sqrt{a-1}}{a-2}$

Таким образом, значение исходного выражения равно $\frac{2\sqrt{a-1}}{a-2}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{a-1}}{a-2}$