Номер 3.81, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.81. Определите, является ли последовательность 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...

1) ограниченной снизу;

2) ограниченной сверху?

Данная последовательность $a_n$ определяется как 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ... Можно заметить, что члены последовательности с нечетными номерами $n=2k-1$ (где $k=1, 2, 3, ...$) образуют последовательность натуральных чисел $\text{k}$, а члены с четными номерами $n=2k$ образуют последовательность отрицательных целых чисел $-k$. Таким образом, формулу для n-го члена можно записать в виде: $a_n = \begin{cases} k, & \text{если } n=2k-1 \\ -k, & \text{если } n=2k \end{cases}$ или, через $\text{n}$: $a_n = \begin{cases} (n+1)/2, & \text{если } n \text{ нечетно} \\ -n/2, & \text{если } n \text{ четно} \end{cases}$

1) ограниченной снизу;

Последовательность $\{a_n\}$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $\text{m}$, что для любого натурального $\text{n}$ выполняется неравенство $a_n \ge m$. Рассмотрим подпоследовательность, состоящую из членов с четными номерами: $a_2, a_4, a_6, \dots, a_{2k}, \dots$. Члены этой подпоследовательности равны -1, -2, -3, ..., $-k$, ... Эта подпоследовательность неограниченно убывает и стремится к минус бесконечности ($\lim_{k \to \infty} a_{2k} = -\infty$). Это означает, что для любого, сколь угодно малого числа $\text{m}$ (например, $m = -10^6$), всегда найдется член последовательности, который будет меньше $\text{m}$. В нашем примере, можно взять $k = 10^6+1$, тогда $n=2k=2(10^6+1)$ и $a_n = -(10^6+1) < -10^6$. Таким образом, не существует такого числа $\text{m}$, которое было бы меньше или равно всем членам последовательности.

Ответ: последовательность не является ограниченной снизу.

2) ограниченной сверху?

Последовательность $\{a_n\}$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $\text{M}$, что для любого натурального $\text{n}$ выполняется неравенство $a_n \le M$. Рассмотрим подпоследовательность, состоящую из членов с нечетными номерами: $a_1, a_3, a_5, \dots, a_{2k-1}, \dots$. Члены этой подпоследовательности равны 1, 2, 3, ..., $\text{k}$, ... Эта подпоследовательность неограниченно возрастает и стремится к плюс бесконечности ($\lim_{k \to \infty} a_{2k-1} = +\infty$). Это означает, что для любого, сколь угодно большого числа $\text{M}$ (например, $M = 10^6$), всегда найдется член последовательности, который будет больше $\text{M}$. В нашем примере, можно взять $k = 10^6+1$, тогда $n=2k-1=2(10^6+1)-1$ и $a_n = 10^6+1 > 10^6$. Таким образом, не существует такого числа $\text{M}$, которое было бы больше или равно всем членам последовательности.

Ответ: последовательность не является ограниченной сверху.