Номер 3.85, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.85. Найдите угловые коэффициенты касательных, проведенных в точке (1;1) к графикам степенных функций, представленных на рисунках.

1. $y = x^{\frac{1}{2}}$

2. $y = x^3$

3. $y = x^{-\frac{1}{2}}$

4. $y = x^{-1}$

1. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$.

Для функции $y = x^{\frac{1}{2}}$ в точке $(1; 1)$ имеем $x_0 = 1$.

Находим производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$y' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = y'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2. Для функции $y = x^3$ в точке $(1; 1)$ имеем $x_0 = 1$.

Находим производную:

$y' = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = y'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.

Ответ: $\text{3}$.

3. Для функции $y = x^{-\frac{1}{2}}$ в точке $(1; 1)$ имеем $x_0 = 1$.

Находим производную:

$y' = (x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = y'(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

4. Для функции $y = x^{-1}$ в точке $(1; 1)$ имеем $x_0 = 1$.

Находим производную:

$y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = y'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$.

Ответ: $-1$.