Вопросы, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулу вычисления производной степенной функции.

2. Напишите формулу вычисления интеграла от степенной функции.

1. Напишите формулу вычисления производной степенной функции.

Степенная функция — это функция вида $y = x^n$, где $\text{x}$ является переменным основанием, а $\text{n}$ — постоянным показателем степени, который может быть любым действительным числом.

Производная степенной функции находится по общему правилу, которое называется правилом дифференцирования степенной функции. Согласно этому правилу, чтобы найти производную, нужно показатель степени $\text{n}$ вынести в качестве множителя, а саму степень переменной уменьшить на единицу.

Формула вычисления производной степенной функции:

$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Эта формула является одной из фундаментальных в дифференциальном исчислении и применяется для любого действительного числа $\text{n}$.

Рассмотрим несколько примеров:

• Если $f(x) = x^4$, то её производная $f'(x) = 4 \cdot x^{4-1} = 4x^3$.
• Если функция является корнем, например $f(x) = \sqrt{x}$, её можно представить в виде степени $x^{1/2}$. Тогда производная будет $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• Если функция имеет отрицательную степень, например $f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$, то её производная $f'(x) = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Ответ: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

2. Напишите формулу вычисления интеграла от степенной функции.

Интегрирование — это операция, обратная дифференцированию. Формула для вычисления неопределенного интеграла от степенной функции $x^n$ выводится из правила нахождения производной.

Для нахождения интеграла от степенной функции $x^n$ необходимо увеличить её показатель степени на единицу, а затем разделить полученное выражение на новый показатель степени. К результату также прибавляется произвольная постоянная $\text{C}$, называемая константой интегрирования.

Основная формула для интегрирования степенной функции:

$\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

Эта формула работает для всех действительных значений $\text{n}$, за исключением одного важного случая.

Особый случай при $n = -1$

Когда показатель степени $n = -1$, функция имеет вид $f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$. Если применить к ней основную формулу, в знаменателе получится ноль ($n+1 = -1+1=0$), что недопустимо. Поэтому для этого случая существует отдельное правило. Интегралом от функции $\frac{1}{x}$ является натуральный логарифм модуля $\text{x}$.

Формула для $n = -1$:

$\int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C$

Рассмотрим несколько примеров:

• $\int x^5 \,dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C$.
• $\int \sqrt[3]{x^2} \,dx = \int x^{2/3} \,dx = \frac{x^{2/3+1}}{2/3+1} + C = \frac{x^{5/3}}{5/3} + C = \frac{3}{5}x^{5/3} + C$.

Ответ: $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (при $n \neq -1$), и $\int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C$ (при $n = -1$).