Номер 3.84, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.84. Найдите производную функции:

1) $f(x) = x^{\frac{4}{5}} - x^{\frac{2}{5}};$

2) $f(t) = t^{\frac{2}{3}} - t^{\frac{1}{3}} + 4;$

3) $f(x) = 6\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = x^{\frac{4}{5}} - x^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся правилом дифференцирования разности функций $(u-v)' = u' - v'$ и формулой производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Найдем производную каждого слагаемого отдельно:

Производная первого слагаемого $x^{\frac{4}{5}}$:

$(x^{\frac{4}{5}})' = \frac{4}{5} \cdot x^{\frac{4}{5}-1} = \frac{4}{5} \cdot x^{\frac{4}{5}-\frac{5}{5}} = \frac{4}{5} \cdot x^{-\frac{1}{5}}$.

Производная второго слагаемого $x^{\frac{2}{3}}$:

$(x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3}-\frac{3}{3}} = \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}}$.

Теперь вычтем производную второго слагаемого из производной первого:

$f'(x) = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}} - \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}} - \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.

2) Для нахождения производной функции $f(t) = t^{\frac{2}{3}} - t^{\frac{1}{3}} + 4$ применим те же правила, что и в первом пункте, а также учтем, что производная константы равна нулю, то есть $(C)'=0$.

$f'(t) = (t^{\frac{2}{3}} - t^{\frac{1}{3}} + 4)' = (t^{\frac{2}{3}})' - (t^{\frac{1}{3}})' + (4)'$.

Найдем производную каждого члена:

$(t^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3} \cdot t^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3} \cdot t^{-\frac{1}{3}}$.

$(t^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3} \cdot t^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3} \cdot t^{-\frac{2}{3}}$.

$(4)' = 0$.

Соберем все вместе:

$f'(t) = \frac{2}{3}t^{-\frac{1}{3}} - \frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}} + 0 = \frac{2}{3}t^{-\frac{1}{3}} - \frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}}$.

Ответ: $f'(t) = \frac{2}{3}t^{-\frac{1}{3}} - \frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}}$.

3) Для нахождения производной функции $f(x) = 6\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ сначала преобразуем ее, представив корни в виде степеней с дробными показателями.

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2x^{-\frac{1}{3}}$

Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = 6x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-\frac{1}{3}}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы $(u+v)'=u'+v'$, правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$ и формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

$f'(x) = (6x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-\frac{1}{3}})' = (6x^{\frac{1}{2}})' + (2x^{-\frac{1}{3}})'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

$(6x^{\frac{1}{2}})' = 6 \cdot (\frac{1}{2})x^{\frac{1}{2}-1} = 3x^{-\frac{1}{2}}$.

$(2x^{-\frac{1}{3}})' = 2 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

Сложим полученные производные:

$f'(x) = 3x^{-\frac{1}{2}} - \frac{2}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

Ответ: $f'(x) = 3x^{-\frac{1}{2}} - \frac{2}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.