Номер 3.89, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.89. Заполните таблицу.

Преобразуйте: Подынтегральная функция для $ \int \sqrt{x} \, dx $ представляется в виде степени. Квадратный корень из $ x $ — это $ x $ в степени $ \frac{1}{2} $. Таким образом, интеграл принимает вид:

Ответ: $ \int x^{\frac{1}{2}} \, dx $

Найдите интеграл: Используем формулу интегрирования степенной функции $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $. В данном случае $ n = \frac{1}{2} $.

$ \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C $

Ответ: $ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C $

Упростите: Упростим полученное выражение. Деление на дробь $ \frac{3}{2} $ заменяем умножением на $ \frac{2}{3} $. Дробную степень $ x^{\frac{3}{2}} $ представляем в виде корня $ \sqrt{x^3} $.

$ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C $

Ответ: $ \frac{2\sqrt{x^3}}{3} + C $

Преобразуйте: Подынтегральная функция для $ \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx $ представляется в виде степени. Используя свойство степеней, получаем $ \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}} $. Таким образом, интеграл принимает вид:

Ответ: $ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx $

Найдите интеграл: Используем ту же формулу $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $. В данном случае $ n = -\frac{1}{2} $.

$ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C $

Ответ: $ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C $

Упростите: Упростим полученное выражение. Деление на $ \frac{1}{2} $ эквивалентно умножению на 2. Степень $ x^{\frac{1}{2}} $ представляем в виде квадратного корня $ \sqrt{x} $.

$ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C $

Ответ: $ 2\sqrt{x} + C $