Номер 3.90, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.90. Найдите интегралы от степенных функций. Результат проверьте дифференцированием.

1) $\int 2x^{-\frac{1}{8}}dx;$

2) $\int 14x^{0.4}dx;$

3) $\int -1,2x^{-0.6}dx.$

1) Для нахождения неопределенного интеграла от степенной функции используется формула $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $\text{C}$ - произвольная постоянная.

Найдем интеграл $\int 2x^{-\frac{1}{8}} dx$.

Вынесем константу за знак интеграла и применим формулу:

$\int 2x^{-\frac{1}{8}} dx = 2 \int x^{-\frac{1}{8}} dx = 2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{8}+1}}{-\frac{1}{8}+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{7}{8}}}{\frac{7}{8}} + C = 2 \cdot \frac{8}{7} x^{\frac{7}{8}} + C = \frac{16}{7} x^{\frac{7}{8}} + C$.

Теперь выполним проверку результата путем дифференцирования. Найдем производную от полученной функции $\frac{16}{7} x^{\frac{7}{8}} + C$.

$(\frac{16}{7} x^{\frac{7}{8}} + C)' = \frac{d}{dx}(\frac{16}{7} x^{\frac{7}{8}}) + \frac{d}{dx}(C) = \frac{16}{7} \cdot \frac{7}{8} x^{\frac{7}{8}-1} + 0 = 2x^{-\frac{1}{8}}$.

Полученная производная совпадает с подынтегральной функцией, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $\frac{16}{7} x^{\frac{7}{8}} + C$.

2) Найдем интеграл $\int 14x^{0.4} dx$.

Вынесем константу за знак интеграла и применим формулу для интегрирования степенной функции:

$\int 14x^{0.4} dx = 14 \int x^{0.4} dx = 14 \cdot \frac{x^{0.4+1}}{0.4+1} + C = 14 \cdot \frac{x^{1.4}}{1.4} + C = 10x^{1.4} + C$.

Проверим результат дифференцированием. Найдем производную от функции $10x^{1.4} + C$.

$(10x^{1.4} + C)' = \frac{d}{dx}(10x^{1.4}) + \frac{d}{dx}(C) = 10 \cdot 1.4x^{1.4-1} + 0 = 14x^{0.4}$.

Производная совпадает с подынтегральной функцией, значит, решение верное.

Ответ: $10x^{1.4} + C$.

3) Найдем интеграл $\int -1.2x^{-0.6} dx$.

Вынесем константу за знак интеграла и воспользуемся той же формулой:

$\int -1.2x^{-0.6} dx = -1.2 \int x^{-0.6} dx = -1.2 \cdot \frac{x^{-0.6+1}}{-0.6+1} + C = -1.2 \cdot \frac{x^{0.4}}{0.4} + C = -3x^{0.4} + C$.

Проверим результат дифференцированием. Найдем производную от функции $-3x^{0.4} + C$.

$(-3x^{0.4} + C)' = \frac{d}{dx}(-3x^{0.4}) + \frac{d}{dx}(C) = -3 \cdot 0.4x^{0.4-1} + 0 = -1.2x^{-0.6}$.

Производная совпадает с подынтегральной функцией, что подтверждает правильность вычисления интеграла.

Ответ: $-3x^{0.4} + C$.