Номер 3.97, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.97. Найдите интегралы, пользуясь свойствами степени с рациональным показателем:

1) $\int \sqrt[8]{x}dx;$

2) $\int \sqrt[8]{x^7}dx;$

3) $\int -12 \sqrt[10]{x^6}dx;$

4) $\int -2\sqrt[4]{x^5}dx;$

5) $\int -\frac{3}{2\sqrt{x}}dx;$

6) $\int -\frac{4}{3\sqrt[3]{x^4}}dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int \sqrt[8]{x} dx$ сначала представим подынтегральное выражение в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[8]{x} = x^{\frac{1}{8}}$.

Теперь воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{\frac{1}{8}} dx = \frac{x^{\frac{1}{8} + 1}}{\frac{1}{8} + 1} + C = \frac{x^{\frac{9}{8}}}{\frac{9}{8}} + C = \frac{8}{9}x^{\frac{9}{8}} + C$.

Результат можно также записать в виде корня: $\frac{8}{9}\sqrt[8]{x^9} + C$.

Ответ: $\frac{8}{9}x^{\frac{9}{8}} + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int \sqrt[3]{x^7} dx$ представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{x^7} = x^{\frac{7}{3}}$.

Применяем формулу интегрирования степенной функции:

$\int x^{\frac{7}{3}} dx = \frac{x^{\frac{7}{3} + 1}}{\frac{7}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{10}{3}}}{\frac{10}{3}} + C = \frac{3}{10}x^{\frac{10}{3}} + C$.

Результат в виде корня: $\frac{3}{10}\sqrt[3]{x^{10}} + C$.

Ответ: $\frac{3}{10}x^{\frac{10}{3}} + C$.

3) Для нахождения интеграла $\int -12 \sqrt[10]{x^6} dx$ вынесем константу за знак интеграла и представим корень в виде степени, сократив показатель: $\sqrt[10]{x^6} = x^{\frac{6}{10}} = x^{\frac{3}{5}}$.

Интеграл принимает вид: $-12 \int x^{\frac{3}{5}} dx$.

Интегрируем степенную функцию:

$-12 \cdot \frac{x^{\frac{3}{5} + 1}}{\frac{3}{5} + 1} + C = -12 \cdot \frac{x^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}} + C = -12 \cdot \frac{5}{8}x^{\frac{8}{5}} + C$.

Упростим коэффициент: $-12 \cdot \frac{5}{8} = -\frac{3 \cdot 5}{2} = -\frac{15}{2}$.

Таким образом, получаем: $-\frac{15}{2}x^{\frac{8}{5}} + C$.

Результат в виде корня: $-\frac{15}{2}\sqrt[5]{x^8} + C$.

Ответ: $-\frac{15}{2}x^{\frac{8}{5}} + C$.

4) Для нахождения интеграла $\int -2 \sqrt[4]{x^5} dx$ вынесем константу и представим корень в виде степени:

$-2 \int x^{\frac{5}{4}} dx$.

Применяем формулу интегрирования:

$-2 \cdot \frac{x^{\frac{5}{4} + 1}}{\frac{5}{4} + 1} + C = -2 \cdot \frac{x^{\frac{9}{4}}}{\frac{9}{4}} + C = -2 \cdot \frac{4}{9}x^{\frac{9}{4}} + C = -\frac{8}{9}x^{\frac{9}{4}} + C$.

Результат в виде корня: $-\frac{8}{9}\sqrt[4]{x^9} + C$.

Ответ: $-\frac{8}{9}x^{\frac{9}{4}} + C$.

5) Для нахождения интеграла $\int -\frac{3}{2\sqrt{x}} dx$ преобразуем подынтегральное выражение. Вынесем константу и представим корень в знаменателе в виде степени с отрицательным показателем:

$\int -\frac{3}{2\sqrt{x}} dx = -\frac{3}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} dx = -\frac{3}{2} \int x^{-\frac{1}{2}} dx$.

Интегрируем:

$-\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = -\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\frac{3}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}} + C = -3x^{\frac{1}{2}} + C$.

Результат в виде корня: $-3\sqrt{x} + C$.

Ответ: $-3\sqrt{x} + C$.

6) Для нахождения интеграла $\int -\frac{4}{3\sqrt[3]{x^4}} dx$ преобразуем подынтегральное выражение. Вынесем константу и представим корень в знаменателе в виде степени с отрицательным показателем:

$\int -\frac{4}{3\sqrt[3]{x^4}} dx = -\frac{4}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} dx = -\frac{4}{3} \int x^{-\frac{4}{3}} dx$.

Интегрируем:

$-\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{-\frac{4}{3} + 1}}{-\frac{4}{3} + 1} + C = -\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + C = -\frac{4}{3} \cdot (-3)x^{-\frac{1}{3}} + C = 4x^{-\frac{1}{3}} + C$.

Результат можно записать в виде дроби с корнем: $\frac{4}{\sqrt[3]{x}} + C$.

Ответ: $4x^{-\frac{1}{3}} + C$.