Номер 3.99, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.99. Вычислите определенный интеграл:

1) $ \int_8^4 \sqrt{x-3} dx $

2) $ \int_{-8}^8 \frac{dx}{\sqrt{5 + \frac{x}{2}}} $

1) Вычислим определенный интеграл $ \int_{8}^{4} \sqrt{x-3} dx $. Обратите внимание, что верхний предел интегрирования (4) меньше нижнего (8).

Для решения используем метод замены переменной. Пусть $ t = x-3 $. Тогда дифференциал $ dt = dx $.

Найдем новые пределы интегрирования, соответствующие новой переменной $\text{t}$:

При $ x=8 $ (нижний предел), получаем $ t = 8-3 = 5 $.

При $ x=4 $ (верхний предел), получаем $ t = 4-3 = 1 $.

После замены переменной и пределов интегрирования интеграл принимает вид:

$ \int_{8}^{4} \sqrt{x-3} dx = \int_{5}^{1} \sqrt{t} dt = \int_{5}^{1} t^{1/2} dt $

Найдем первообразную для функции $ f(t) = t^{1/2} $. Используя табличный интеграл $ \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} $, получаем:

$ F(t) = \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}t^{3/2} $

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(t)dt = F(b) - F(a) $:

$ \left. \frac{2}{3} t^{3/2} \right|_{5}^{1} = \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{2}{3}(5)^{3/2} $

Упростим полученное выражение:

$ \frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 5\sqrt{5} = \frac{2}{3}(1 - 5\sqrt{5}) $

Ответ: $ \frac{2}{3}(1 - 5\sqrt{5}) $

2) Для вычисления интеграла $ \int_{-8}^{8} \frac{dx}{\sqrt{5+\frac{x}{2}}} $ также используем метод замены переменной.

Пусть $ t = 5+\frac{x}{2} $. Тогда найдем дифференциал $ dt = d(5+\frac{x}{2}) = (5+\frac{x}{2})' dx = \frac{1}{2} dx $. Отсюда выразим $ dx = 2dt $.

Найдем новые пределы интегрирования:

При $ x=-8 $ (нижний предел), $ t = 5 + \frac{-8}{2} = 5-4 = 1 $.

При $ x=8 $ (верхний предел), $ t = 5 + \frac{8}{2} = 5+4 = 9 $.

Подставим новую переменную, ее дифференциал и новые пределы в исходный интеграл:

$ \int_{-8}^{8} \frac{dx}{\sqrt{5+\frac{x}{2}}} = \int_{1}^{9} \frac{2dt}{\sqrt{t}} = 2 \int_{1}^{9} t^{-1/2} dt $

Вычислим полученный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$ 2 \int_{1}^{9} t^{-1/2} dt = 2 \left. \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} \right|_{1}^{9} = 2 \left. \frac{t^{1/2}}{1/2} \right|_{1}^{9} = 2 \left. (2\sqrt{t}) \right|_{1}^{9} = 4 \left. \sqrt{t} \right|_{1}^{9} $

Подставляем пределы интегрирования:

$ 4(\sqrt{9} - \sqrt{1}) = 4(3-1) = 4 \cdot 2 = 8 $

Ответ: $ 8 $