Номер 3.98, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.98. Изобразите фигуру, ограниченную данными кривыми, и най- дите ее площадь:

$y = \frac{x^2}{2}$,

$y = \sqrt{2x}$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми $y = \frac{x^2}{2}$ и $y = \sqrt{2x}$, сперва найдем точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:

$\frac{x^2}{2} = \sqrt{2x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. Область допустимых значений для $\text{x}$ определяется из-за корня: $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

$\left(\frac{x^2}{2}\right)^2 = (\sqrt{2x})^2$

$\frac{x^4}{4} = 2x$

$x^4 = 8x$

$x^4 - 8x = 0$

$x(x^3 - 8) = 0$

Отсюда получаем два решения:

$x_1 = 0$

$x^3 - 8 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x_2 = 2$

Найдем соответствующие значения $\text{y}$ для этих точек:

При $x_1 = 0$: $y_1 = \frac{0^2}{2} = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

При $x_2 = 2$: $y_2 = \frac{2^2}{2} = 2$. Точка пересечения $(2, 2)$.

Таким образом, кривые пересекаются в точках $(0, 0)$ и $(2, 2)$.

Фигура ограничена параболой $y = \frac{x^2}{2}$ (ветви вверх, вершина в начале координат) и графиком функции $y = \sqrt{2x}$ (верхняя ветвь параболы, открывающейся вправо). На интервале $x \in [0, 2]$ график функции $y = \sqrt{2x}$ находится выше графика параболы $y = \frac{x^2}{2}$. Например, при $x=1$, имеем $y = \sqrt{2} \approx 1.41$ и $y = \frac{1}{2} = 0.5$.

Площадь фигуры $\text{S}$ вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x=0$ до $x=2$:

$S = \int_{0}^{2} \left(\sqrt{2x} - \frac{x^2}{2}\right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \int_{0}^{2} (\sqrt{2} \cdot x^{1/2} - \frac{1}{2}x^2) dx = \left. \left( \sqrt{2} \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} \right) \right|_{0}^{2}$

$S = \left. \left( \sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2} = \left. \left( \frac{2\sqrt{2}}{3}x\sqrt{x} - \frac{x^3}{6} \right) \right|_{0}^{2}$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{2^3}{6} \right) - \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 0\sqrt{0} - \frac{0^3}{6} \right)$

$S = \left( \frac{4 \cdot 2}{3} - \frac{8}{6} \right) - 0 = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

Площадь фигуры равна $\frac{4}{3}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{4}{3}$