Вопросы, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определение иррационального уравнения.

2. Как определяется область допустимых значений иррационального уравнения?

3. Опишите алгоритм решения иррационального уравнения с помощью возведения в степень.

4. Опишите метод введения новой переменной при решении иррационального уравнения.

1. Дайте определение иррационального уравнения.

Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала) или возведена в дробную степень. Ключевой особенностью является то, что переменная является частью подкоренного выражения.

Например, уравнения $\sqrt{x+5} = 3$, $\sqrt[3]{x-1} + \sqrt{x} = 6$ и $x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$ являются иррациональными.

Важно отличать их от уравнений, которые содержат корни из чисел, но не из переменной. Например, уравнение $x + \sqrt{2} = 5$ не является иррациональным, так как переменная $\text{x}$ не находится под знаком корня.

Ответ: Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или в основании степени с дробным показателем.

2. Как определяется область допустимых значений иррационального уравнения?

Область допустимых значений (ОДЗ) иррационального уравнения — это множество всех значений переменной, при которых все выражения, входящие в уравнение, имеют смысл.

При определении ОДЗ иррационального уравнения необходимо учитывать следующие основные правила:

1. Если в уравнении присутствует корень четной степени (например, квадратный $\sqrt{f(x)}$, корень четвертой степени $\sqrt[4]{f(x)}$ и т.д.), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть для корня $\sqrt[2n]{f(x)}$ должно выполняться условие $f(x) \ge 0$.
2. Если в уравнении присутствует корень нечетной степени (например, кубический $\sqrt[3]{f(x)}$), то подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Такие корни не накладывают ограничений на ОДЗ.
3. Если в уравнении есть дроби, знаменатели которых содержат переменную, то эти знаменатели не должны быть равны нулю.

ОДЗ находится как решение системы неравенств, составленной из всех этих ограничений.

Пример: Для уравнения $\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{10-x}} = 1$ ОДЗ определяется системой неравенств: $ \begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 10-x > 0 \end{cases} $ Обратите внимание, что для знаменателя установлено строгое неравенство. Решая систему, получаем: $ \begin{cases} x \ge 2 \\ x < 10 \end{cases} $ Таким образом, ОДЗ: $x \in [2; 10)$.

Ответ: Область допустимых значений определяется исходя из условий, что выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательны, а знаменатели дробей не должны равняться нулю. ОДЗ является пересечением всех этих множеств.

3. Опишите алгоритм решения иррационального уравнения с помощью возведения в степень.

Метод возведения в степень является основным методом решения иррациональных уравнений. Его цель — избавиться от знаков корня и свести уравнение к рациональному (например, линейному, квадратному).

Алгоритм решения:

1. Уединить один из радикалов в одной части уравнения. То есть привести уравнение к виду $\sqrt[n]{f(x)} = g(x)$. Если радикалов несколько, уединяется один из них.
2. Возвести обе части уравнения в степень $\text{n}$, равную показателю корня. Это преобразует уравнение к виду $f(x) = (g(x))^n$.
3. Решить полученное рациональное уравнение.
4. Выполнить проверку найденных корней. Это обязательный и самый важный шаг. При возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появиться посторонние корни. Проверку можно выполнить двумя способами:
   • Подставить найденные значения переменной в исходное иррациональное уравнение и проверить, обращается ли оно в верное числовое равенство.
   • Для уравнения вида $\sqrt[2n]{f(x)} = g(x)$ можно вместо проверки решить равносильную ему систему: $ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^{2n} \end{cases} $. Условие $f(x) \ge 0$ здесь выполняется автоматически, так как $f(x)$ равно четной степени $g(x)$. Найденные корни уравнения $f(x) = (g(x))^{2n}$ проверяются по условию $g(x) \ge 0$.

Если уравнение содержит несколько радикалов, операцию по уединению и возведению в степень может потребоваться выполнить несколько раз.

Ответ: Алгоритм заключается в уединении радикала, возведении обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня, решении полученного рационального уравнения и обязательной проверке найденных корней на предмет посторонних.

4. Опишите метод введения новой переменной при решении иррационального уравнения.

Метод введения новой переменной (или метод замены) применяется в случаях, когда иррациональное уравнение имеет определенную структуру — в нем повторяется некоторое выражение, содержащее корень.

Алгоритм решения:

1. Найти в уравнении повторяющееся выражение (обычно это радикал или выражение с ним).
2. Ввести новую переменную для этого выражения. Например, $t = \sqrt[n]{f(x)}$.
3. При введении замены важно определить ограничения для новой переменной. Например, если $t = \sqrt{f(x)}$ (корень четной степени), то должно выполняться условие $t \ge 0$.
4. Переписать исходное уравнение, используя новую переменную. В результате должно получиться более простое, как правило, рациональное уравнение (часто квадратное).
5. Решить полученное уравнение относительно новой переменной $\text{t}$. Отбросить те корни, которые не удовлетворяют ограничениям, найденным в шаге 3.
6. Выполнить обратную замену: для каждого подходящего значения $\text{t}$ составить и решить уравнение вида $\sqrt[n]{f(x)} = t$.
7. Выполнить проверку найденных корней $\text{x}$, подставив их в исходное уравнение, или убедиться, что они входят в ОДЗ.

Пример: Решить уравнение $x^2 + 5 + \sqrt{x^2+5} - 12 = 0$.

• Замечаем повторяющееся выражение $\sqrt{x^2+5}$.
• Введем замену: $t = \sqrt{x^2+5}$. Так как это арифметический корень, то $t \ge 0$. Тогда $t^2 = x^2+5$.
• Уравнение принимает вид: $t^2 + t - 12 = 0$.
• Решаем квадратное уравнение: $t_1 = 3$, $t_2 = -4$.
• Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 3$.
• Выполняем обратную замену: $\sqrt{x^2+5} = 3$.
• Возводим в квадрат: $x^2+5 = 9 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.
• Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ: Метод заключается в замене повторяющегося в уравнении выражения с корнем на новую переменную, решении полученного более простого уравнения относительно этой переменной и последующем выполнении обратной замены для нахождения исходной переменной.