Номер 4.5, страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.5. Определите, при каких значениях переменной выполняется равенство:

1) $\sqrt{x-4} \cdot \sqrt{x+4} = \sqrt{x^2-16}$;

2) $\sqrt{x(x-1)} = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{1-x}$.

1) Равенство, которое нужно проверить: $\sqrt{x-4} \cdot \sqrt{x+4} = \sqrt{x^2-16}$.

Это равенство основано на свойстве корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Данное свойство справедливо только в том случае, когда оба подкоренных выражения неотрицательны, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

В нашем случае $a = x-4$ и $b = x+4$.

Следовательно, равенство будет выполняться при одновременном выполнении двух условий:

1. $x-4 \ge 0$

2. $x+4 \ge 0$

Решим эту систему неравенств:

Из первого неравенства получаем $x \ge 4$.

Из второго неравенства получаем $x \ge -4$.

Пересечением этих двух условий является $x \ge 4$.

При $x \ge 4$ оба множителя в левой части существуют и неотрицательны. Также, при $x \ge 4$ выражение под корнем в правой части $x^2-16$ будет неотрицательным ($4^2-16=0$, и при $x > 4$ будет $x^2 > 16$), так что правая часть тоже определена.

Таким образом, исходное равенство выполняется для всех $\text{x}$, удовлетворяющих условию $x \ge 4$.

Ответ: $x \ge 4$.

2) Равенство, которое нужно проверить: $\sqrt{x(x-1)} = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{1-x}$.

Правая часть равенства представляет собой произведение корней $\sqrt{-x}$ и $\sqrt{1-x}$. По свойству $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, мы можем записать $\sqrt{-x} \cdot \sqrt{1-x} = \sqrt{(-x)(1-x)}$ при условии, что оба подкоренных выражения неотрицательны.

Условия неотрицательности для правой части:

1. $-x \ge 0 \implies x \le 0$

2. $1-x \ge 0 \implies x \le 1$

Для одновременного выполнения этих двух условий необходимо, чтобы $x \le 0$.

Теперь проверим, что при $x \le 0$ левая часть равенства также определена. Выражение под корнем в левой части: $x(x-1)$.

Если $x < 0$, то $\text{x}$ - отрицательное число, а $x-1$ - также отрицательное число. Произведение двух отрицательных чисел положительно.

Если $x = 0$, то $x(x-1) = 0$.

Следовательно, при $x \le 0$ выражение $x(x-1)$ неотрицательно, и корень $\sqrt{x(x-1)}$ определен.

При $x \le 0$ мы можем преобразовать правую часть:

$\sqrt{-x} \cdot \sqrt{1-x} = \sqrt{(-x)(1-x)} = \sqrt{-x+x^2} = \sqrt{x^2-x} = \sqrt{x(x-1)}$.

Это совпадает с левой частью равенства. Значит, равенство выполняется для всех $\text{x}$, при которых оно определено, то есть при $x \le 0$.

Ответ: $x \le 0$.