Номер 4.11, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.11. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+6} = 6;$

2) $\frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} = \sqrt{x-1};$

3) $\frac{x+6}{\sqrt{x-2}} = \sqrt{3x+2};$

4) $\sqrt{x \cdot \sqrt{2-x}} = 2x.$

1)

Дано уравнение $\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+6} = 6$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge -1$.

Объединим корни: $\sqrt{(x+1)(x+6)} = 6$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны:

$(x+1)(x+6) = 6^2$

$x^2 + 6x + x + 6 = 36$

$x^2 + 7x + 6 - 36 = 0$

$x^2 + 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-7$, а произведение равно $-30$. Корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = -10$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1$):

$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge -1$.

$x_2 = -10$ не удовлетворяет условию $-10 \ge -1$.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $\text{3}$.

2)

Дано уравнение $\frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} = \sqrt{x-1}$.

Найдем ОДЗ:

$2x-1 > 0 \implies x > \frac{1}{2}$ (знаменатель не может быть равен нулю)

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 1$.

При $x \ge 1$ обе части уравнения неотрицательны. Умножим обе части на $\sqrt{2x-1}$:

$x+1 = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{2x-1}$

$x+1 = \sqrt{(x-1)(2x-1)}$

Возведем обе части в квадрат:

$(x+1)^2 = (x-1)(2x-1)$

$x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - x - 2x + 1$

$x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1$

$2x^2 - x^2 - 3x - 2x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 5x = 0$

$x(x-5) = 0$

Получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$):

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \ge 1$.

$x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 1$.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $\text{5}$.

3)

Дано уравнение $\frac{x+6}{\sqrt{x-2}} = \sqrt{3x+2}$.

Найдем ОДЗ:

$x-2 > 0 \implies x > 2$

$3x+2 \ge 0 \implies x \ge -\frac{2}{3}$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x > 2$.

При $x > 2$ обе части уравнения положительны. Умножим обе части на $\sqrt{x-2}$:

$x+6 = \sqrt{3x+2} \cdot \sqrt{x-2}$

$x+6 = \sqrt{(3x+2)(x-2)}$

Возведем обе части в квадрат:

$(x+6)^2 = (3x+2)(x-2)$

$x^2 + 12x + 36 = 3x^2 - 6x + 2x - 4$

$x^2 + 12x + 36 = 3x^2 - 4x - 4$

$3x^2 - x^2 - 4x - 12x - 4 - 36 = 0$

$2x^2 - 16x - 40 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$x^2 - 8x - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $\text{8}$, а произведение равно $-20$. Корни:

$x_1 = 10$

$x_2 = -2$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):

$x_1 = 10$ удовлетворяет условию $10 > 2$.

$x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > 2$.

Таким образом, решением является только один корень.

Ответ: $10$.

4)

Дано уравнение $\sqrt{x} \cdot \sqrt{2-x} = 2x$.

Найдем ОДЗ:

$x \ge 0$

$2-x \ge 0 \implies x \le 2$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $0 \le x \le 2$.

Запишем уравнение в виде $\sqrt{x(2-x)} = 2x$.

Для того, чтобы можно было возвести обе части в квадрат, правая часть должна быть неотрицательной: $2x \ge 0 \implies x \ge 0$. Это условие уже входит в ОДЗ.

Возведем обе части в квадрат при условии $0 \le x \le 2$:

$x(2-x) = (2x)^2$

$2x - x^2 = 4x^2$

$5x^2 - 2x = 0$

Вынесем $\text{x}$ за скобки:

$x(5x - 2) = 0$

Получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$5x-2 = 0 \implies x_2 = \frac{2}{5}$

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 2$):

$x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \le 0 \le 2$.

$x_2 = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{2}{5} \le 2$.

Оба корня подходят.

Ответ: $0; \frac{2}{5}$.