Номер 4.16, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.16. Решите уравнение:

1) $\frac{2}{\sqrt{2-x}} = \sqrt{\frac{x+6}{x+3}}$;

2) $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1}$;

3) $\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$;

4) $\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2}$.

1) Исходное уравнение: $ \frac{2}{\sqrt{2-x}} = \sqrt{\frac{x+6}{x+3}} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Она определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} 2-x > 0 \\ \frac{x+6}{x+3} \ge 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $ x < 2 $.

Второе неравенство $ \frac{x+6}{x+3} \ge 0 $ решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x = -6 $ и $ x = -3 $. Это дает нам $ x \in (-\infty, -6] \cup (-3, +\infty) $.

Пересекая оба условия ($ x < 2 $ и $ x \in (-\infty, -6] \cup (-3, +\infty) $), получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty, -6] \cup (-3, 2) $.

В области допустимых значений обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$ \left(\frac{2}{\sqrt{2-x}}\right)^2 = \left(\sqrt{\frac{x+6}{x+3}}\right)^2 $

$ \frac{4}{2-x} = \frac{x+6}{x+3} $

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$ 4(x+3) = (2-x)(x+6) $

$ 4x + 12 = 2x + 12 - x^2 - 6x $

$ 4x + 12 = -x^2 - 4x + 12 $

$ x^2 + 8x = 0 $

$ x(x+8) = 0 $

Отсюда находим два возможных корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = -8 $.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ: $ x \in (-\infty, -6] \cup (-3, 2) $.

Корень $ x_1 = 0 $ принадлежит интервалу $ (-3, 2) $, следовательно, является решением.

Корень $ x_2 = -8 $ принадлежит интервалу $ (-\infty, -6] $, следовательно, также является решением.

Ответ: $ -8; 0 $.

2) Исходное уравнение: $ \frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1} $.

Найдем ОДЗ из условий подкоренных выражений:

$ \begin{cases} 3x+1 > 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -1/3 \\ x \ge -1/2 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $ x > -1/3 $.

Кроме того, правая часть уравнения $ \sqrt{2x+1} $ всегда неотрицательна. Следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной. Поскольку знаменатель $ \sqrt{3x+1} $ всегда положителен, числитель должен быть неотрицателен: $ x+1 \ge 0 $, что означает $ x \ge -1 $. Это условие уже учтено более строгим неравенством $ x > -1/3 $.

Итак, окончательная ОДЗ: $ x > -1/3 $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \frac{(x+1)^2}{3x+1} = 2x+1 $

$ (x+1)^2 = (2x+1)(3x+1) $

$ x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + 2x + 3x + 1 $

$ x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + 5x + 1 $

$ 5x^2 + 3x = 0 $

$ x(5x+3) = 0 $

Получаем два корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = -3/5 $.

Проверим корни по ОДЗ $ x > -1/3 $ (где $ -1/3 \approx -0.33 $).

$ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию $ 0 > -1/3 $, значит, это решение.

$ x_2 = -3/5 = -0.6 $ не удовлетворяет условию $ -0.6 > -1/3 $, значит, это посторонний корень.

Ответ: $ 0 $.

3) Исходное уравнение: $ \sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12} $.

Найдем ОДЗ из системы неравенств:

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \\ 2x-12 \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 9 \\ x \ge 6 \end{cases} $

Объединяя все три условия, получаем ОДЗ: $ x \in [6, 9] $.

Правая часть уравнения $ \sqrt{2x-12} $ неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательной:

$ \sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} \ge 0 \implies \sqrt{x+1} \ge \sqrt{9-x} $.

Так как обе части неотрицательны, можно возвести их в квадрат: $ x+1 \ge 9-x \implies 2x \ge 8 \implies x \ge 4 $.

Это условие ($ x \ge 4 $) не сужает уже найденную ОДЗ ($ x \in [6, 9] $).

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x})^2 = (\sqrt{2x-12})^2 $

$ (x+1) - 2\sqrt{(x+1)(9-x)} + (9-x) = 2x-12 $

$ 10 - 2\sqrt{-x^2+8x+9} = 2x-12 $

$ 22 - 2x = 2\sqrt{-x^2+8x+9} $

Разделим обе части на 2:

$ 11 - x = \sqrt{-x^2+8x+9} $

Левая часть $ 11-x $ должна быть неотрицательной, т.е. $ 11-x \ge 0 \implies x \le 11 $. Это условие выполняется для всех $ x $ из ОДЗ. Снова возведем в квадрат:

$ (11-x)^2 = -x^2+8x+9 $

$ 121 - 22x + x^2 = -x^2+8x+9 $

$ 2x^2 - 30x + 112 = 0 $

Разделим на 2: $ x^2 - 15x + 56 = 0 $.

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $ x_1 = 7, x_2 = 8 $.

Проверим корни по ОДЗ $ x \in [6, 9] $. Оба корня $ 7 $ и $ 8 $ принадлежат этому отрезку.

Ответ: $ 7; 8 $.

4) Исходное уравнение: $ \sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2} $.

Для удобства преобразуем уравнение, перенеся один из корней в правую часть:

$ \sqrt{x+3} = \sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2} $.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 2x-1 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1/2 \\ x \ge 2/3 \end{cases} $

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $ x \ge 2/3 $.

В преобразованном уравнении обе части неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат:

$ (\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2})^2 $

$ x+3 = (2x-1) + 2\sqrt{(2x-1)(3x-2)} + (3x-2) $

$ x+3 = 5x - 3 + 2\sqrt{6x^2-7x+2} $

$ 6 - 4x = 2\sqrt{6x^2-7x+2} $

Разделим на 2: $ 3 - 2x = \sqrt{6x^2-7x+2} $.

Левая часть $ 3-2x $ должна быть неотрицательной: $ 3 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 3 \implies x \le 1.5 $.

С учетом ОДЗ получаем, что корень должен лежать в промежутке $ x \in [2/3, 1.5] $.

Снова возведем обе части в квадрат:

$ (3-2x)^2 = 6x^2-7x+2 $

$ 9 - 12x + 4x^2 = 6x^2-7x+2 $

$ 2x^2 + 5x - 7 = 0 $

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 5^2 - 4(2)(-7) = 25+56 = 81 $.

Корни: $ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5-9}{4} = -3.5 $; $ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5+9}{4} = 1 $.

Проверим, принадлежат ли корни промежутку $ [2/3, 1.5] $.

$ x_1 = -3.5 $ не принадлежит этому промежутку.

$ x_2 = 1 $ принадлежит этому промежутку, так как $ 2/3 \le 1 \le 1.5 $.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $ 1 $.