Номер 4.22, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.22. Не решая уравнение $\sqrt{x-5} + \sqrt{x^2+4} = 0$, объясните, почему оно не имеет решений.

Рассмотрим данное уравнение $\sqrt{x-5} + \sqrt{x^2+4} = 0$. Это уравнение представляет собой сумму двух слагаемых, равную нулю.

По определению, арифметический квадратный корень из действительного числа является неотрицательным числом. Поэтому первое слагаемое $\sqrt{x-5}$ должно быть больше или равно нулю: $\sqrt{x-5} \ge 0$. Это также означает, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x-5 \ge 0$, откуда следует, что $x \ge 5$.

Рассмотрим второе слагаемое, $\sqrt{x^2+4}$. Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного числа $\text{x}$, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, подкоренное выражение $x^2+4$ всегда будет больше или равно 4: $x^2+4 \ge 4$. Из этого следует, что значение второго слагаемого всегда больше или равно $\sqrt{4}$: $\sqrt{x^2+4} \ge 2$. То есть, второе слагаемое является строго положительным числом.

Таким образом, мы имеем сумму двух слагаемых, где первое, $\sqrt{x-5}$, является неотрицательным (больше или равно 0), а второе, $\sqrt{x^2+4}$, является строго положительным (больше или равно 2). Сумма неотрицательного числа и строго положительного числа всегда является строго положительным числом. В нашем случае, для любого $\text{x}$ из области определения ($x \ge 5$), левая часть уравнения $\sqrt{x-5} + \sqrt{x^2+4} \ge 0 + 2 = 2$.

Поскольку левая часть уравнения всегда больше или равна 2, она никогда не может быть равна 0.

Другой способ рассуждения: сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. То есть, для решения уравнения должны одновременно выполняться два условия: 1) $\sqrt{x-5} = 0$ 2) $\sqrt{x^2+4} = 0$ Из первого условия получаем $x-5=0$, что дает $x=5$. Однако второе условие $\sqrt{x^2+4} = 0$ никогда не выполняется, так как $x^2+4$ всегда больше или равно 4. При подстановке $x=5$ во второе слагаемое получаем $\sqrt{5^2+4} = \sqrt{29}$, что не равно нулю. Поскольку не существует такого значения $\text{x}$, при котором оба слагаемых одновременно обращаются в ноль, их сумма не может быть равна нулю.

Ответ: Уравнение не имеет решений, так как его левая часть представляет собой сумму неотрицательного слагаемого ($\sqrt{x-5}$) и строго положительного слагаемого ($\sqrt{x^2+4}$), и, следовательно, их сумма всегда строго положительна и не может быть равна нулю.