Номер 4.26, страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.26*. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $\begin{cases} x - a = 2\sqrt{y}, \\ y^2 - x^2 + 2x + 8y + 15 = 0 \end{cases}$ имеет хотя бы одно решение.

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x - a = 2\sqrt{y}, \\ y^2 - x^2 + 2x + 8y + 15 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения следует, что $y \ge 0$ и $x - a \ge 0$, то есть $x \ge a$.

Преобразуем второе уравнение, выделив полные квадраты:

$y^2 + 8y - x^2 + 2x + 15 = 0$

$(y^2 + 8y + 16) - 16 - (x^2 - 2x + 1) + 1 + 15 = 0$

$(y+4)^2 - (x-1)^2 = 0$

Это уравнение распадается на два:

$(y+4 - (x-1))(y+4 + (x-1)) = 0$

$(y-x+5)(y+x+3) = 0$

Отсюда получаем, что второе уравнение системы эквивалентно совокупности двух линейных уравнений:

$y = x - 5$ или $y = -x - 3$.

Таким образом, исходная система имеет хотя бы одно решение, если хотя бы одна из следующих двух систем имеет решение.

1. Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x - a = 2\sqrt{y} \\ y = x - 5 \end{cases} $

С учётом условия $y \ge 0$, получаем $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.

Подставим второе уравнение в первое:

$x - a = 2\sqrt{x-5}$

Выразим параметр $\text{a}$:

$a = x - 2\sqrt{x-5}$

Система имеет решение, если существует такое $x \ge 5$, для которого выполняется это равенство. Это означает, что значение $\text{a}$ должно принадлежать множеству значений функции $f(x) = x - 2\sqrt{x-5}$ при $x \ge 5$. Найдем это множество значений.

Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - 2\sqrt{x-5})' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-5}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x-5}}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$1 - \frac{1}{\sqrt{x-5}} = 0 \implies \sqrt{x-5} = 1 \implies x-5 = 1 \implies x=6$.

Точка $x=6$ принадлежит области определения $x \ge 5$. При $x \in (5, 6)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает), а при $x > 6$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Следовательно, в точке $x=6$ функция $f(x)$ достигает своего минимума.

Минимальное значение функции: $f(6) = 6 - 2\sqrt{6-5} = 6 - 2 = 4$.

На границе области определения при $x=5$: $f(5) = 5 - 2\sqrt{5-5} = 5$.

При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$.

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ на промежутке $[5, \infty)$ есть $[4, \infty)$.

Следовательно, первая система имеет решение при $a \ge 4$.

2. Рассмотрим вторую систему:

$ \begin{cases} x - a = 2\sqrt{y} \\ y = -x - 3 \end{cases} $

С учётом условия $y \ge 0$, получаем $-x - 3 \ge 0$, то есть $x \le -3$.

Подставим второе уравнение в первое:

$x - a = 2\sqrt{-x-3}$

Выразим параметр $\text{a}$:

$a = x - 2\sqrt{-x-3}$

Система имеет решение, если существует такое $x \le -3$, для которого выполняется это равенство. Найдем множество значений функции $g(x) = x - 2\sqrt{-x-3}$ при $x \le -3$.

Найдём производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (x - 2\sqrt{-x-3})' = 1 - 2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{-x-3}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{-x-3}}$

Для всех $x < -3$ производная $g'(x) = 1 + \frac{1}{\sqrt{-x-3}} > 1$, так как второе слагаемое всегда положительно. Это означает, что функция $g(x)$ строго возрастает на всей своей области определения $(-\infty, -3]$.

Поскольку функция возрастает, её максимальное значение достигается в крайней правой точке области определения, то есть при $x=-3$.

$g(-3) = -3 - 2\sqrt{-(-3)-3} = -3 - 0 = -3$.

При $x \to -\infty$, $g(x) \to -\infty$.

Таким образом, множество значений функции $g(x)$ на промежутке $(-\infty, -3]$ есть $(-\infty, -3]$.

Следовательно, вторая система имеет решение при $a \le -3$.

Объединение результатов:

Исходная система имеет хотя бы одно решение, если решение имеет хотя бы одна из рассмотренных систем. Это происходит, когда $\text{a}$ принадлежит объединению найденных множеств.

$a \ge 4$ или $a \le -3$.

Ответ: $a \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.