Номер 4.30, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.30. Решите иррациональное неравенство, предварительно выяснив, имеет ли оно решения:

1) $\sqrt{3-5x} > -2;$

2) $\sqrt{3-5x} < -2;$

3) $\sqrt{x^2+x-6} > -2;$

4) $\sqrt{x-2} > 4.$

1) Дано неравенство $\sqrt[3]{3-5x} > -2$. Поскольку корень нечетной степени (кубический корень) определен для любого действительного числа, область определения этого неравенства — все действительные числа. Предварительно выясним, имеет ли неравенство решения. Так как область значений функции $y=\sqrt[3]{t}$ — это все действительные числа $(-\infty; +\infty)$, то значение $\sqrt[3]{3-5x}$ может быть как больше, так и меньше -2. Следовательно, решения существуют. Для решения возведем обе части неравенства в третью степень. Так как степень нечетная, знак неравенства не меняется: $(\sqrt[3]{3-5x})^3 > (-2)^3$ $3 - 5x > -8$ Перенесем 3 в правую часть: $-5x > -8 - 3$ $-5x > -11$ Разделим обе части на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x < \frac{-11}{-5}$ $x < \frac{11}{5}$ Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-\infty; \frac{11}{5})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{11}{5})$.

2) Дано неравенство $\sqrt[3]{3-5x} < -2$. Аналогично первому пункту, область определения — все действительные числа, и решения существуют. Возведем обе части неравенства в третью степень, сохраняя знак неравенства: $(\sqrt[3]{3-5x})^3 < (-2)^3$ $3 - 5x < -8$ $-5x < -8 - 3$ $-5x < -11$ Разделим обе части на -5 и поменяем знак неравенства на противоположный: $x > \frac{-11}{-5}$ $x > \frac{11}{5}$ Решение неравенства — это интервал $(\frac{11}{5}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{11}{5}; +\infty)$.

3) Дано неравенство $\sqrt{x^2+x-6} > -2$. Предварительно выясним, имеет ли оно решения. Арифметический квадратный корень по определению является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x^2+x-6} \ge 0$ для всех $\text{x}$ из области его определения. Поскольку любое неотрицательное число (значение корня) всегда больше любого отрицательного числа (-2), неравенство будет верным для всех значений $\text{x}$, при которых выражение под корнем существует. Таким образом, решения существуют, и они совпадают с областью определения (ОДЗ) данного выражения. Найдем ОДЗ. По определению квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 + x - 6 \ge 0$ Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Используя теорему Виета или формулу корней, получаем $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны при $\text{x}$ левее меньшего корня и правее большего корня. Следовательно, решение неравенства $x^2 + x - 6 \ge 0$ есть объединение промежутков $(-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$. Это и есть решение исходного иррационального неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.

4) Дано неравенство $\sqrt{x-2} > 4$. Предварительно выясним, имеет ли оно решения. Значение квадратного корня может быть больше 4 (например, если $x=27$, то $\sqrt{27-2} = \sqrt{25} = 5 > 4$), значит, решения существуют. Сначала найдем область определения (ОДЗ): $x - 2 \ge 0$ $x \ge 2$ Обе части исходного неравенства $\sqrt{x-2} > 4$ неотрицательны (4 > 0, а корень неотрицателен по определению). Поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{x-2})^2 > 4^2$ $x - 2 > 16$ $x > 16 + 2$ $x > 18$ Теперь необходимо учесть область определения. Решение должно удовлетворять обоим условиям: $x \ge 2$ и $x > 18$. Пересечением этих двух условий является $x > 18$. Решение неравенства — это интервал $(18; +\infty)$.

Ответ: $x \in (18; +\infty)$.