Номер 4.28, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.28. Решите иррациональное неравенство:

1) $\sqrt{1-x} \le 2$;

2) $\sqrt{x-3} < 5$;

3) $\sqrt{2x+3} \ge 3$;

4) $\sqrt{x+5} < 4$.

1) Для неравенства $\sqrt{1-x} \le 2$ сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1-x \ge 0$, откуда получаем $x \le 1$.

Так как обе части неравенства неотрицательны (квадратный корень по определению неотрицателен, а $\text{2}$ — положительное число), мы можем возвести обе части в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{1-x})^2 \le 2^2$.

Получаем $1-x \le 4$. Решаем это линейное неравенство: переносим $\text{1}$ в правую часть: $-x \le 4 - 1$, что дает $-x \le 3$. Умножаем обе части на $-1$ и меняем знак неравенства на противоположный: $x \ge -3$.

Чтобы найти итоговое решение, необходимо взять пересечение полученного условия $x \ge -3$ с ОДЗ $x \le 1$. Это соответствует двойному неравенству $-3 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-3; 1]$.

2) Для неравенства $\sqrt{x-3} < 5$ найдем ОДЗ. Условие существования корня: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат: $(\sqrt{x-3})^2 < 5^2$.

Получаем $x-3 < 25$. Решаем это неравенство: $x < 25 + 3$, то есть $x < 28$.

Объединяем полученное решение с ОДЗ: нам нужны значения $\text{x}$, которые удовлетворяют одновременно условиям $x \ge 3$ и $x < 28$.

Ответ: $x \in [3; 28)$.

3) Для неравенства $\sqrt{2x+3} \ge 3$ определим ОДЗ: $2x+3 \ge 0$, что дает $2x \ge -3$, или $x \ge -1.5$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, возводим их в квадрат: $(\sqrt{2x+3})^2 \ge 3^2$.

Получаем $2x+3 \ge 9$. Решаем неравенство: $2x \ge 9 - 3$, то есть $2x \ge 6$. Отсюда $x \ge 3$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \ge 3$ и $x \ge -1.5$. Более строгим является условие $x \ge 3$, которое и будет решением.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

4) Для неравенства $\sqrt{x+5} < 4$ найдем ОДЗ: $x+5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат: $(\sqrt{x+5})^2 < 4^2$.

Получаем $x+5 < 16$. Решаем неравенство: $x < 16 - 5$, то есть $x < 11$.

Итоговое решение является пересечением ОДЗ ($x \ge -5$) и полученного условия ($x < 11$). Таким образом, $-5 \le x < 11$.

Ответ: $x \in [-5; 11)$.