Номер 4.31, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.31. Решите неравенство:

1) $\sqrt[3]{9-2x} \le 2$;

2) $\sqrt[3]{1-2x^2} > -3$;

3) $\sqrt[5]{\frac{2x-2}{3x+6}} < 1$.

1) $\sqrt[3]{9-2x} \le 2$

Поскольку функция кубического корня является монотонно возрастающей на всей числовой оси, мы можем возвести обе части неравенства в третью степень, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[3]{9-2x})^3 \le 2^3$

$9-2x \le 8$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$-2x \le 8 - 9$

$-2x \le -1$

При делении обеих частей на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge \frac{-1}{-2}$

$x \ge 0.5$

Решением является промежуток $[\frac{1}{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0.5; +\infty)$.

2) $\sqrt[3]{1-2x^2} > -3$

Так как кубический корень является функцией, монотонно возрастающей для всех действительных чисел, мы можем возвести обе части неравенства в куб. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\sqrt[3]{1-2x^2})^3 > (-3)^3$

$1-2x^2 > -27$

Решим полученное квадратное неравенство:

$1 + 27 > 2x^2$

$28 > 2x^2$

$14 > x^2$ или $x^2 < 14$

Это неравенство равносильно системе:

$|x| < \sqrt{14}$

Что означает $-\sqrt{14} < x < \sqrt{14}$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{14}; \sqrt{14})$.

3) $\sqrt[5]{\frac{2x-2}{3x+6}} < 1$

Функция корня пятой степени является монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Поэтому можно возвести обе части неравенства в пятую степень, сохранив знак неравенства.

$(\sqrt[5]{\frac{2x-2}{3x+6}})^5 < 1^5$

$\frac{2x-2}{3x+6} < 1$

Прежде чем решать, отметим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.

$3x+6 \ne 0 \Rightarrow 3x \ne -6 \Rightarrow x \ne -2$.

Теперь решим рациональное неравенство. Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{2x-2}{3x+6} - 1 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x-2 - (3x+6)}{3x+6} < 0$

$\frac{2x-2 - 3x - 6}{3x+6} < 0$

$\frac{-x-8}{3x+6} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $-x-8=0 \Rightarrow x = -8$.

Нуль знаменателя: $3x+6=0 \Rightarrow x = -2$.

Нанесем точки -8 и -2 на числовую прямую. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

Прямая разобьется на три интервала: $(-\infty, -8)$, $(-8, -2)$ и $(-2, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{-x-8}{3x+6}$ в каждом интервале:

• При $x > -2$ (например, $x=0$): $\frac{-0-8}{3(0)+6} = \frac{-8}{6} < 0$. Интервал подходит.
• При $-8 < x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{-(-3)-8}{3(-3)+6} = \frac{3-8}{-9+6} = \frac{-5}{-3} > 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -8$ (например, $x=-10$): $\frac{-(-10)-8}{3(-10)+6} = \frac{10-8}{-30+6} = \frac{2}{-24} < 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (-2; +\infty)$.