Вопросы, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте теоремы об иррациональных неравенствах.

2. Начертите схему решения иррационального неравенства, содержащего корень с четным показателем. Поясните схему.

1. Сформулируйте теоремы об иррациональных неравенствах.

Решение иррациональных неравенств основано на методе равносильных преобразований, которые позволяют перейти от иррационального неравенства к системе или совокупности рациональных неравенств. Вид преобразования зависит от показателя корня и знака неравенства.

Теоремы для корней нечетной степени

Для корней нечетной степени $2n+1$, где $n \in \mathbb{N}$, функция $y = x^{2n+1}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это позволяет возводить обе части неравенства в нечетную степень без изменения знака неравенства и без дополнительных условий.

• Теорема 1. Неравенство вида $\sqrt[2n+1]{f(x)} > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > (g(x))^{2n+1}$.

  $\sqrt[2n+1]{f(x)} > g(x) \Leftrightarrow f(x) > (g(x))^{2n+1}$

• Теорема 2. Неравенство вида $\sqrt[2n+1]{f(x)} > \sqrt[2n+1]{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$.

  $\sqrt[2n+1]{f(x)} > \sqrt[2n+1]{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$

Примечание: Аналогичные теоремы справедливы для знаков $<, \le, \ge$.

Теоремы для корней четной степени

Для корней четной степени $2n$, где $n \in \mathbb{N}$, необходимо учитывать область допустимых значений (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) и знак выражений, возводимых в степень.

• Теорема 3. Неравенство вида $\sqrt[2n]{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств:

  $\sqrt[2n]{f(x)} < g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^{2n} \end{cases}$

  Для нестрогого неравенства: $\sqrt[2n]{f(x)} \le g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^{2n} \end{cases}$

• Теорема 4. Неравенство вида $\sqrt[2n]{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем неравенств:

  $\sqrt[2n]{f(x)} > g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^{2n} \end{cases} \end{array} \right.$

  Для нестрогого неравенства: $\sqrt[2n]{f(x)} \ge g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge (g(x))^{2n} \end{cases} \end{array} \right.$

• Теорема 5. Неравенство вида $\sqrt[2n]{f(x)} > \sqrt[2n]{g(x)}$ равносильно системе неравенств:

  $\sqrt[2n]{f(x)} > \sqrt[2n]{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

  Примечание: Условие $f(x) \ge 0$ выполняется автоматически, так как из системы следует $f(x) > g(x) \ge 0$.

Ответ: Выше сформулированы основные теоремы, используемые при решении иррациональных неравенств.

2. Начертите схему решения иррационального неравенства, содержащего корень с четным показателем. Поясните схему.

Схема решения иррационального неравенства с четным показателем корня $2n$ ($n \in \mathbb{N}$) заключается в последовательном применении равносильных преобразований для перехода к рациональным неравенствам. Общий алгоритм можно представить в виде следующих шагов.

Шаг 1: Идентификация типа неравенства

Привести неравенство к одному из трех основных видов путем алгебраических преобразований (уединение корня в одной из частей неравенства).

• Вид A: $\sqrt[2n]{f(x)} < g(x)$ (или $\le$)
• Вид B: $\sqrt[2n]{f(x)} > g(x)$ (или $\ge$)
• Вид C: $\sqrt[2n]{f(x)} < \sqrt[2n]{g(x)}$ (или $>, \le, \ge$)

Шаг 2: Применение равносильного перехода

В зависимости от вида неравенства, заменить его на эквивалентную систему или совокупность систем.

Схема и пояснения для каждого вида:

Вид A: $\sqrt[2n]{f(x)} < g(x)$

• Пояснение: Левая часть (корень) по определению неотрицательна. Чтобы неравенство было верным, правая часть $g(x)$ должна быть положительной. При выполнении этого условия обе части неравенства неотрицательны, и их можно возвести в степень $2n$, сохранив знак неравенства. Также необходимо учесть область определения корня ($f(x) \ge 0$).

• Схема перехода:

  $\sqrt[2n]{f(x)} < g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^{2n} \end{cases}$

  Для нестрогого знака: $\sqrt[2n]{f(x)} \le g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^{2n} \end{cases}$

Вид B: $\sqrt[2n]{f(x)} > g(x)$

• Пояснение: Решение здесь зависит от знака выражения $g(x)$, поэтому рассматривается совокупность двух случаев.

• Схема перехода:

  $\sqrt[2n]{f(x)} > g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^{2n} \end{cases} \end{array} \right.$

• Пояснение к совокупности:

  1. Если $g(x)$ отрицательно, то неравенство будет верным при всех $\text{x}$, для которых корень существует (т.е. $f(x) \ge 0$), так как неотрицательное число всегда больше отрицательного.

  2. Если $g(x)$ неотрицательно, обе части неравенства можно возвести в степень $2n$.

Вид C: $\sqrt[2n]{f(x)} < \sqrt[2n]{g(x)}$

• Пояснение: Так как функция $y=\sqrt[2n]{t}$ монотонно возрастает на своей области определения ($t \ge 0$), большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы подкоренное выражение слева было меньше подкоренного выражения справа. Также нужно потребовать, чтобы оба подкоренных выражения были определены (неотрицательны).

• Схема перехода:

  $\sqrt[2n]{f(x)} < \sqrt[2n]{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$

• Примечание: Из условий $f(x) < g(x)$ и $f(x) \ge 0$ автоматически следует, что $g(x) > 0$, поэтому условие $g(x) \ge 0$ является избыточным и его можно не включать в систему для упрощения.

Шаг 3: Решение итоговой системы/совокупности

Решить полученную систему или совокупность рациональных неравенств, используя, например, метод интервалов, и найти пересечение или объединение полученных множеств решений.

Ответ: Выше представлена схема решения иррациональных неравенств с четным показателем и даны пояснения к ней.