Номер 4.24, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.24. Решите уравнение $\sqrt{x-4a+16}-2\sqrt{x-2a+4}+\sqrt{x}=0$ в зависимости от значений параметра $\text{a}$.

Исходное уравнение: $ \sqrt{x-4a+16} - 2\sqrt{x-2a+4} + \sqrt{x} = 0 $.

Вначале определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $\text{x}$. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x-2a+4 \ge 0 \\ x-4a+16 \ge 0 \end{cases} $

Перепишем уравнение, уединив член с множителем 2:

$ \sqrt{x-4a+16} + \sqrt{x} = 2\sqrt{x-2a+4} $

Обе части уравнения неотрицательны, так как корень и сумма корней не могут быть отрицательными. Поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней (в рамках ОДЗ).

$ (\sqrt{x-4a+16} + \sqrt{x})^2 = (2\sqrt{x-2a+4})^2 $

Раскроем скобки:

$ (x-4a+16) + 2\sqrt{x(x-4a+16)} + x = 4(x-2a+4) $

$ 2x - 4a + 16 + 2\sqrt{x^2 - 4ax + 16x} = 4x - 8a + 16 $

Теперь уединим оставшийся радикал в левой части:

$ 2\sqrt{x^2 - 4ax + 16x} = (4x - 8a + 16) - (2x - 4a + 16) $

$ 2\sqrt{x^2 - 4ax + 16x} = 2x - 4a $

$ \sqrt{x^2 - 4ax + 16x} = x - 2a $

Для того чтобы это равенство было возможным, правая часть должна быть неотрицательной, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным. Это дает нам новое условие:

$ x - 2a \ge 0 $

При выполнении этого условия снова возведем обе части в квадрат:

$ (\sqrt{x^2 - 4ax + 16x})^2 = (x - 2a)^2 $

$ x^2 - 4ax + 16x = x^2 - 4ax + 4a^2 $

Сокращаем одинаковые члены с обеих сторон:

$ 16x = 4a^2 $

Отсюда находим $\text{x}$:

$ x = \frac{4a^2}{16} = \frac{a^2}{4} $

Теперь нам нужно проверить, при каких значениях параметра $\text{a}$ найденное решение $ x = \frac{a^2}{4} $ удовлетворяет всем условиям, которые мы наложили в ходе решения.

Подставим $ x = \frac{a^2}{4} $ в каждое неравенство.

1. $ x \ge 0 \implies \frac{a^2}{4} \ge 0 $. Это неравенство верно для любого действительного числа $\text{a}$.

2. $ x-2a+4 \ge 0 \implies \frac{a^2}{4} - 2a + 4 \ge 0 $. Умножим на 4: $ a^2 - 8a + 16 \ge 0 $, что эквивалентно $ (a-4)^2 \ge 0 $. Это неравенство также верно для любого $\text{a}$.

3. $ x-4a+16 \ge 0 \implies \frac{a^2}{4} - 4a + 16 \ge 0 $. Умножим на 4: $ a^2 - 16a + 64 \ge 0 $, что эквивалентно $ (a-8)^2 \ge 0 $. Это неравенство также верно для любого $\text{a}$.

4. $ x - 2a \ge 0 \implies \frac{a^2}{4} - 2a \ge 0 $. Умножим на 4: $ a^2 - 8a \ge 0 $, или $ a(a-8) \ge 0 $.

Решим последнее неравенство методом интервалов. Корни $a=0$ и $a=8$. Парабола $y=a(a-8)$ ветвями вверх, значит, она неотрицательна на промежутках $ a \in (-\infty, 0] \cup [8, +\infty) $.

Следовательно, найденное решение $ x = \frac{a^2}{4} $ является корнем исходного уравнения только при тех значениях $\text{a}$, которые удовлетворяют этому последнему условию. Если $ a \in (0, 8) $, то на этапе $ \sqrt{x^2 - 4ax + 16x} = x - 2a $ правая часть окажется отрицательной, и равенство будет невозможным, а значит, решений не будет.

Ответ: при $ a \in (-\infty, 0] \cup [8, +\infty) $ уравнение имеет один корень $ x = \frac{a^2}{4} $; при $ a \in (0, 8) $ уравнение не имеет решений.