Номер 4.19, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.19. Решите уравнение с помощью разложения на множители:

1) $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + \left(\frac{3}{4}x+2\right)\sqrt{9x^2-25} = 0;$

2) $\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} + (3x+4)\sqrt{36x^2-25} = 0;$

3) $\sqrt{(4x+5)(3x-2)} = 4x+5;$

4) $\sqrt{(3x-1)(4x+3)} = 3x-1.$

1)

Исходное уравнение: $ \sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + (\frac{3}{4}x+2)\sqrt{9x^2-25} = 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия:

1. $ \frac{3x-5}{3x+5} \ge 0 $

2. $ 9x^2-25 \ge 0 \implies (3x-5)(3x+5) \ge 0 $

3. $ 3x+5 \ne 0 $

Решая систему этих неравенств, получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty, -5/3) \cup [5/3, \infty) $.

Преобразуем второй корень в уравнении: $ \sqrt{9x^2-25} = \sqrt{(3x-5)(3x+5)} $. Заметим, что $ \sqrt{(3x-5)(3x+5)} = \sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} \cdot |3x+5| $.

Подставим это в уравнение:

$ \sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + (\frac{3}{4}x+2)\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} \cdot |3x+5| = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} $ за скобки:

$ \sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} \left( 1 + (\frac{3}{4}x+2)|3x+5| \right) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: $ \sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} = 0 \implies \frac{3x-5}{3x+5} = 0 \implies 3x-5=0 \implies x = 5/3 $.

Этот корень принадлежит ОДЗ, значит, является решением.

Случай 2: $ 1 + (\frac{3}{4}x+2)|3x+5| = 0 $.

Рассмотрим два промежутка из ОДЗ.

а) Если $ x \ge 5/3 $, то $ 3x+5 > 0 $ и $ |3x+5| = 3x+5 $.

$ 1 + (\frac{3x+8}{4})(3x+5) = 0 \implies 4 + (3x+8)(3x+5) = 0 $

$ 4 + 9x^2 + 15x + 24x + 40 = 0 \implies 9x^2 + 39x + 44 = 0 $.

Дискриминант $ D = 39^2 - 4 \cdot 9 \cdot 44 = 1521 - 1584 = -63 < 0 $. Действительных корней нет.

б) Если $ x < -5/3 $, то $ 3x+5 < 0 $ и $ |3x+5| = -(3x+5) $.

$ 1 + (\frac{3x+8}{4})(-(3x+5)) = 0 \implies 4 - (3x+8)(3x+5) = 0 $

$ 4 - (9x^2+39x+40) = 0 \implies -9x^2 - 39x - 36 = 0 \implies 3x^2+13x+12=0 $.

Дискриминант $ D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 169 - 144 = 25 = 5^2 $.

Корни: $ x_1 = \frac{-13-5}{6} = -3 $ и $ x_2 = \frac{-13+5}{6} = -\frac{4}{3} $.

Проверяем принадлежность к рассматриваемому промежутку $ x < -5/3 $.

$ x_1 = -3 $ удовлетворяет условию $ -3 < -5/3 $.

$ x_2 = -4/3 $ не удовлетворяет условию, так как $ -4/3 > -5/3 $.

Таким образом, из этого случая получаем еще один корень $ x=-3 $.

Ответ: $ -3; 5/3 $.

2)

Исходное уравнение: $ \sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} + (3x+4)\sqrt{36x^2-25} = 0 $

ОДЗ: $ \frac{6x-5}{6x+5} \ge 0 $ и $ 36x^2-25 \ge 0 $, что дает $ x \in (-\infty, -5/6) \cup [5/6, \infty) $.

Преобразуем уравнение, вынеся общий множитель $ \sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} $ за скобки, используя $ \sqrt{36x^2-25} = \sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} \cdot |6x+5| $:

$ \sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} \left( 1 + (3x+4)|6x+5| \right) = 0 $

Случай 1: $ \sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} = 0 \implies 6x-5=0 \implies x = 5/6 $.

Этот корень принадлежит ОДЗ.

Случай 2: $ 1 + (3x+4)|6x+5| = 0 $.

а) Если $ x \ge 5/6 $, то $ 6x+5 > 0 $ и $ |6x+5| = 6x+5 $.

$ 1 + (3x+4)(6x+5) = 0 \implies 18x^2 + 39x + 21 = 0 \implies 6x^2+13x+7=0 $.

$ D = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 7 = 169 - 168 = 1 $.

Корни: $ x_1 = \frac{-13-1}{12} = -7/6 $ и $ x_2 = \frac{-13+1}{12} = -1 $.

Оба корня не принадлежат промежутку $ x \ge 5/6 $.

б) Если $ x < -5/6 $, то $ 6x+5 < 0 $ и $ |6x+5| = -(6x+5) $.

$ 1 - (3x+4)(6x+5) = 0 \implies 1 - (18x^2+39x+20) = 0 \implies 18x^2+39x+19=0 $.

$ D = 39^2 - 4 \cdot 18 \cdot 19 = 1521 - 1368 = 153 $.

Корни: $ x = \frac{-39 \pm \sqrt{153}}{36} = \frac{-39 \pm 3\sqrt{17}}{36} = \frac{-13 \pm \sqrt{17}}{12} $.

Проверяем принадлежность к промежутку $ x < -5/6 $ (т.е. $ x < -10/12 $).

$ x_3 = \frac{-13+\sqrt{17}}{12} $. Так как $ 4 < \sqrt{17} < 5 $, то $ -9 < -13+\sqrt{17} < -8 $. Значит $ -9/12 < x_3 < -8/12 $. Этот корень не удовлетворяет условию $ x < -10/12 $.

$ x_4 = \frac{-13-\sqrt{17}}{12} $. Этот корень очевидно меньше $ -13/12 $, значит, он удовлетворяет условию $ x < -10/12 $.

Ответ: $ \frac{-13-\sqrt{17}}{12}; 5/6 $.

3)

Исходное уравнение: $ \sqrt{(4x+5)(3x-2)} = 4x+5 $.

Уравнение вида $ \sqrt{f(x)} = g(x) $ равносильно системе:

$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = g(x)^2 \end{cases} $

Применительно к нашему уравнению:

$ \begin{cases} 4x+5 \ge 0 \\ (4x+5)(3x-2) = (4x+5)^2 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем условие $ x \ge -5/4 $.

Решим второе уравнение. Перенесем все слагаемые в левую часть и разложим на множители:

$ (4x+5)(3x-2) - (4x+5)^2 = 0 $

$ (4x+5)((3x-2) - (4x+5)) = 0 $

$ (4x+5)(3x-2-4x-5) = 0 $

$ (4x+5)(-x-7) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $ 4x+5=0 \implies x = -5/4 $.

2. $ -x-7=0 \implies x = -7 $.

Проверим найденные корни на соответствие условию $ x \ge -5/4 $:

Корень $ x = -5/4 $ удовлетворяет условию.

Корень $ x = -7 $ не удовлетворяет условию, так как $ -7 < -5/4 $.

Следовательно, у уравнения только один корень.

Ответ: $ -5/4 $.

4)

Исходное уравнение: $ \sqrt{(3x-1)(4x+3)} = 3x-1 $.

Уравнение вида $ \sqrt{f(x)} = g(x) $ равносильно системе $ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = g(x)^2 \end{cases} $.

В данном случае:

$ \begin{cases} 3x-1 \ge 0 \\ (3x-1)(4x+3) = (3x-1)^2 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем условие $ x \ge 1/3 $.

Решим второе уравнение, перенеся все в левую часть и разложив на множители:

$ (3x-1)(4x+3) - (3x-1)^2 = 0 $

$ (3x-1)((4x+3) - (3x-1)) = 0 $

$ (3x-1)(4x+3-3x+1) = 0 $

$ (3x-1)(x+4) = 0 $

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $ 3x-1=0 \implies x = 1/3 $.

2. $ x+4=0 \implies x = -4 $.

Проверим найденные корни на соответствие условию $ x \ge 1/3 $:

Корень $ x = 1/3 $ удовлетворяет условию.

Корень $ x = -4 $ не удовлетворяет условию, так как $ -4 < 1/3 $.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $ 1/3 $.