Номер 4.12, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.12. Решите уравнение, дважды возведя в степень обе его части:

1) $\sqrt{5+\sqrt[3]{x+3}} = 3;$

2) $\sqrt{\sqrt{x^2-16}+x} = 2;$

3) $\sqrt{18-\sqrt[3]{x+10}} = 4;$

4) $\sqrt{x-\sqrt{x^2-5}} = 1.$

1) Дано уравнение $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x+3}} = 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

$(\sqrt{5 + \sqrt[3]{x+3}})^2 = 3^2$

$5 + \sqrt[3]{x+3} = 9$

Теперь изолируем кубический корень, перенеся 5 в правую часть:

$\sqrt[3]{x+3} = 9 - 5$

$\sqrt[3]{x+3} = 4$

Далее, возведем обе части в куб, чтобы избавиться от кубического корня:

$(\sqrt[3]{x+3})^3 = 4^3$

$x+3 = 64$

Решаем полученное линейное уравнение:

$x = 64 - 3$

$x = 61$

Выполним проверку, подставив найденное значение $\text{x}$ в исходное уравнение:

$\sqrt{5 + \sqrt[3]{61+3}} = \sqrt{5 + \sqrt[3]{64}} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$.

$3 = 3$. Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $61$.

2) Дано уравнение $\sqrt{\sqrt{x^2 - 16} + x} = 2$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{\sqrt{x^2 - 16} + x})^2 = 2^2$

$\sqrt{x^2 - 16} + x = 4$

Изолируем оставшийся корень:

$\sqrt{x^2 - 16} = 4 - x$

Перед вторым возведением в квадрат найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 16 \ge 0$, что эквивалентно $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

2. Правая часть уравнения $\sqrt{x^2-16} = 4-x$ должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $4 - x \ge 0$, откуда $x \le 4$.

Объединяя оба условия, получаем, что возможные решения должны принадлежать множеству $(-\infty, -4] \cup \{4\}$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{x^2 - 16} = 4 - x$ в квадрат:

$(\sqrt{x^2 - 16})^2 = (4 - x)^2$

$x^2 - 16 = 16 - 8x + x^2$

Упростим уравнение, вычитая $x^2$ из обеих частей:

$-16 = 16 - 8x$

$8x = 16 + 16$

$8x = 32$

$x = 4$

Проверим, соответствует ли найденный корень $x=4$ ОДЗ. Да, $4 \in (-\infty, -4] \cup \{4\}$.

Проверка подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{\sqrt{4^2 - 16} + 4} = \sqrt{\sqrt{16-16} + 4} = \sqrt{0+4} = \sqrt{4} = 2$.

$2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $\text{4}$.

3) Дано уравнение $\sqrt{18 - \sqrt[3]{x+10}} = 4$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{18 - \sqrt[3]{x+10}})^2 = 4^2$

$18 - \sqrt[3]{x+10} = 16$

Изолируем кубический корень:

$18 - 16 = \sqrt[3]{x+10}$

$2 = \sqrt[3]{x+10}$

Возведем обе части в куб:

$2^3 = (\sqrt[3]{x+10})^3$

$8 = x+10$

Решаем уравнение относительно $\text{x}$:

$x = 8 - 10$

$x = -2$

Проверка: подставим $x=-2$ в исходное уравнение: $\sqrt{18 - \sqrt[3]{-2+10}} = \sqrt{18 - \sqrt[3]{8}} = \sqrt{18-2} = \sqrt{16} = 4$.

$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $-2$.

4) Дано уравнение $\sqrt{x - \sqrt{x^2-5}} = 1$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x - \sqrt{x^2-5}})^2 = 1^2$

$x - \sqrt{x^2-5} = 1$

Изолируем корень:

$x - 1 = \sqrt{x^2-5}$

Найдем ОДЗ.

1. $x^2-5 \ge 0 \implies x^2 \ge 5 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$.

2. $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

3. $x - \sqrt{x^2-5} \ge 0 \implies x \ge \sqrt{x^2-5}$.

Из условий 1 и 2 следует, что $x \ge \sqrt{5}$. При таких $\text{x}$ условие 3 выполняется: $x \ge \sqrt{5} > 0$, можно возвести в квадрат неравенство $x \ge \sqrt{x^2-5}$, получим $x^2 \ge x^2-5$, что упрощается до $0 \ge -5$ (верно). Итак, ОДЗ: $x \ge \sqrt{5}$.

Возведем обе части уравнения $x - 1 = \sqrt{x^2-5}$ в квадрат:

$(x-1)^2 = (\sqrt{x^2-5})^2$

$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 5$

Упростим уравнение:

$-2x + 1 = -5$

$6 = 2x$

$x = 3$

Проверим корень по ОДЗ: $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, так что $x=3$ удовлетворяет условию $x \ge \sqrt{5}$.

Проверка подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{3 - \sqrt{3^2-5}} = \sqrt{3 - \sqrt{9-5}} = \sqrt{3 - \sqrt{4}} = \sqrt{3-2} = \sqrt{1} = 1$.

$1=1$. Равенство верное.

Ответ: $\text{3}$.