Номер 4.13, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.13. Решите уравнение, дважды возведя в степень обе его части:

1) $\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-4}$;

2) $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-6}=2$;

3) $2+\sqrt{10-x}=\sqrt{22-x}$;

4) $\sqrt{1-2x-3}=\sqrt{16+x}$.

1) Исходное уравнение: $ \sqrt{x-3} = 1 + \sqrt{x-4} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $ x-3 \ge 0 $ и $ x-4 \ge 0 $. Из этих неравенств следует, что $ x \ge 3 $ и $ x \ge 4 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \ge 4 $.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $ (\sqrt{x-3})^2 = (1 + \sqrt{x-4})^2 $

$ x-3 = 1 + 2\sqrt{x-4} + (x-4) $

$ x-3 = x - 3 + 2\sqrt{x-4} $

Упрощаем уравнение, вычитая $ x-3 $ из обеих частей:

$ 0 = 2\sqrt{x-4} $

$ \sqrt{x-4} = 0 $

Снова возводим в квадрат:

$ x-4 = 0 $

$ x = 4 $

Найденное значение $ x=4 $ входит в ОДЗ ($ 4 \ge 4 $).

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$ \sqrt{4-3} = 1 + \sqrt{4-4} \implies \sqrt{1} = 1 + \sqrt{0} \implies 1 = 1 $.

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $\text{4}$

2) Исходное уравнение: $ \sqrt{x+2} - \sqrt{x-6} = 2 $.

ОДЗ: $ x+2 \ge 0 $ и $ x-6 \ge 0 $. Отсюда $ x \ge -2 $ и $ x \ge 6 $. Следовательно, ОДЗ: $ x \ge 6 $.

Для удобства возведения в квадрат перенесем один из корней в правую часть:

$ \sqrt{x+2} = 2 + \sqrt{x-6} $

Возведем обе части в квадрат. Так как $ x \ge 6 $, обе части уравнения неотрицательны.

$ (\sqrt{x+2})^2 = (2 + \sqrt{x-6})^2 $

$ x+2 = 4 + 4\sqrt{x-6} + (x-6) $

$ x+2 = x - 2 + 4\sqrt{x-6} $

Упростим, уединив корень:

$ x+2 - x + 2 = 4\sqrt{x-6} $

$ 4 = 4\sqrt{x-6} $

$ 1 = \sqrt{x-6} $

Возведем в квадрат еще раз:

$ 1^2 = (\sqrt{x-6})^2 $

$ 1 = x-6 $

$ x = 7 $

Значение $ x=7 $ входит в ОДЗ ($ 7 \ge 6 $).

Проверка: $ \sqrt{7+2} - \sqrt{7-6} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1 = 2 $. Равенство $ 2=2 $ верное.

Ответ: $\text{7}$

3) Исходное уравнение: $ 2 + \sqrt{10-x} = \sqrt{22-x} $.

ОДЗ: $ 10-x \ge 0 $ и $ 22-x \ge 0 $. Отсюда $ x \le 10 $ и $ x \le 22 $. Следовательно, ОДЗ: $ x \le 10 $.

Обе части уравнения неотрицательны при $ x \le 10 $, поэтому можно возвести их в квадрат:

$ (2 + \sqrt{10-x})^2 = (\sqrt{22-x})^2 $

$ 4 + 4\sqrt{10-x} + (10-x) = 22-x $

$ 14 - x + 4\sqrt{10-x} = 22-x $

Уединим корень:

$ 4\sqrt{10-x} = 22-x - (14-x) $

$ 4\sqrt{10-x} = 8 $

$ \sqrt{10-x} = 2 $

Снова возведем в квадрат:

$ (\sqrt{10-x})^2 = 2^2 $

$ 10-x = 4 $

$ x = 6 $

Значение $ x=6 $ входит в ОДЗ ($ 6 \le 10 $).

Проверка: $ 2 + \sqrt{10-6} = 2 + \sqrt{4} = 2+2=4 $. Правая часть: $ \sqrt{22-6} = \sqrt{16} = 4 $. Равенство $ 4=4 $ верное.

Ответ: $\text{6}$

4) Исходное уравнение: $ \sqrt{1-2x} - 3 = \sqrt{16+x} $.

ОДЗ: $ 1-2x \ge 0 \implies 2x \le 1 \implies x \le 0.5 $ и $ 16+x \ge 0 \implies x \ge -16 $. Объединяя, получаем $ -16 \le x \le 0.5 $.

Кроме того, правая часть уравнения $ \sqrt{16+x} $ неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательной: $ \sqrt{1-2x} - 3 \ge 0 \implies \sqrt{1-2x} \ge 3 $. Возведя в квадрат, получим $ 1-2x \ge 9 \implies -2x \ge 8 \implies x \le -4 $.

Итоговая ОДЗ с учетом всех ограничений: $ -16 \le x \le -4 $.

Перепишем уравнение как $ \sqrt{1-2x} = 3 + \sqrt{16+x} $ и возведем в квадрат:

$ (\sqrt{1-2x})^2 = (3 + \sqrt{16+x})^2 $

$ 1-2x = 9 + 6\sqrt{16+x} + (16+x) $

$ 1-2x = 25 + x + 6\sqrt{16+x} $

Уединим корень:

$ 1-2x - 25 - x = 6\sqrt{16+x} $

$ -24 - 3x = 6\sqrt{16+x} $

Разделим обе части на 3:

$ -8 - x = 2\sqrt{16+x} $

Левая часть $ -8-x $ должна быть неотрицательной: $ -8-x \ge 0 \implies x \le -8 $. С учетом ОДЗ $ -16 \le x \le -4 $, получаем новое, более узкое ограничение для корней: $ -16 \le x \le -8 $.

Возводим в квадрат еще раз:

$ (-8 - x)^2 = (2\sqrt{16+x})^2 $

$ (x+8)^2 = 4(16+x) $

$ x^2 + 16x + 64 = 64 + 4x $

$ x^2 + 12x = 0 $

$ x(x+12) = 0 $

Получаем два возможных корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = -12 $.

Проверяем корни по ограничению $ -16 \le x \le -8 $. Корень $ x=0 $ не подходит. Корень $ x=-12 $ подходит.

Выполним проверку, подставив $ x=-12 $ в исходное уравнение:

$ \sqrt{1-2(-12)} - 3 = \sqrt{16+(-12)} $

$ \sqrt{1+24} - 3 = \sqrt{4} $

$ \sqrt{25} - 3 = 2 $

$ 5 - 3 = 2 $

$ 2 = 2 $. Равенство верное.

Ответ: $-12$