Номер 4.15, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.15. Решите уравнения методом введения новой переменной:

1) $\sqrt{x-3}-6=\sqrt[4]{x-3};$

2) $\sqrt[3]{x+1}+2\sqrt[6]{x+1}=3;$

3) $\sqrt[4]{x-5}=30-\sqrt{x-5};$

4) $3\sqrt[10]{x^2-3}+\sqrt[5]{x^2-3}=4.$

1) $\sqrt{x-3}-6=\sqrt[4]{x-3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt[4]{x-3}$. Так как корень четвертой степени является арифметическим, то $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x-3} = (\sqrt[4]{x-3})^2 = t^2$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 6 = t$

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним. Остается $t = 3$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[4]{x-3} = 3$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$x-3 = 3^4$

$x-3 = 81$

$x = 84$

Корень $x=84$ удовлетворяет ОДЗ ($84 \ge 3$). Проверка: $\sqrt{84-3}-6=\sqrt[4]{84-3} \implies \sqrt{81}-6=\sqrt[4]{81} \implies 9-6=3 \implies 3=3$. Решение верно.

Ответ: $84$.

2) $\sqrt[3]{x+1}+2\sqrt[6]{x+1}=3$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt[6]{x+1}$. Так как корень шестой степени является арифметическим, то $t \ge 0$. Тогда $\sqrt[3]{x+1} = (\sqrt[6]{x+1})^2 = t^2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t^2 + 2t = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -3$ является посторонним. Остается $t = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x+1} = 1$

Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$x+1 = 1^6$

$x+1 = 1$

$x = 0$

Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \ge -1$). Проверка: $\sqrt[3]{0+1}+2\sqrt[6]{0+1}=3 \implies \sqrt[3]{1}+2\sqrt[6]{1}=3 \implies 1+2\cdot1=3 \implies 3=3$. Решение верно.

Ответ: $\text{0}$.

3) $\sqrt[4]{x-5}=30-\sqrt{x-5}$

Перенесем все члены в одну сторону: $\sqrt{x-5}+\sqrt[4]{x-5}-30=0$.

Найдем ОДЗ: $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt[4]{x-5}$. Так как корень четвертой степени является арифметическим, то $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x-5} = (\sqrt[4]{x-5})^2 = t^2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t^2 + t - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -6$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -6$ является посторонним. Остается $t = 5$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[4]{x-5} = 5$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$x-5 = 5^4$

$x-5 = 625$

$x = 630$

Корень $x=630$ удовлетворяет ОДЗ ($630 \ge 5$). Проверка: $\sqrt[4]{630-5}=30-\sqrt{630-5} \implies \sqrt[4]{625}=30-\sqrt{625} \implies 5=30-25 \implies 5=5$. Решение верно.

Ответ: $630$.

4) $3\sqrt[10]{x^2-3}+\sqrt[5]{x^2-3}=4$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x^2-3 \ge 0$, что равносильно $x^2 \ge 3$. Таким образом, $x \in (-\infty; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; +\infty)$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt[10]{x^2-3}$. Так как корень десятой степени является арифметическим, то $t \ge 0$. Тогда $\sqrt[5]{x^2-3} = (\sqrt[10]{x^2-3})^2 = t^2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$3t + t^2 = 4$

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -4$ является посторонним. Остается $t = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[10]{x^2-3} = 1$

Возведем обе части уравнения в десятую степень:

$x^2-3 = 1^{10}$

$x^2-3 = 1$

$x^2 = 4$

Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ. Так как $\sqrt{3} \approx 1.73$, то $2 \ge \sqrt{3}$ и $-2 \le -\sqrt{3}$. Оба корня принадлежат ОДЗ.

Проверка для $x= \pm 2$: $3\sqrt[10]{(\pm 2)^2-3}+\sqrt[5]{(\pm 2)^2-3} = 3\sqrt[10]{4-3}+\sqrt[5]{4-3} = 3\sqrt[10]{1}+\sqrt[5]{1} = 3 \cdot 1 + 1 = 4$. Верно.

Ответ: $-2; 2$.